CAPÍTULO 5. Termodinámica - Biblioteca

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Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán Por otro lado este volumen es: V(1 +βt ) + Vo igualando ambas expresiones (V + Vo) (1 + 2αt) = V(1 + βt ) + Vo ⇒ Vo (1 + 2αt-1) = V(1 + βt - 2αt) V ( β - 2α ) t V( β - 2α ) ⇒ V 0 = = 2αt 2α V (180 - 36)10 6 36x10 = − -6 = 4V = 4 x 10 -5 m 3 La varilla de silicio ocupa los 4/5 del volumen total a 0°C. Ejemplo 15. −6 Una barra de acero, α ACERO = 11× 10 /º C , tiene un diámetro de 3 cm a la temperatura de 25 ºC. −6 Un anillo de bronce, α BRONCE = 17, 10 /º C , tiene un diámetro interior de 2,992 cm a la misma temperatura. ¿A qué temperatura común entrará justamente el anillo en la varilla? Solución. Puesto que los diámetros son cantidades lineales, éstas se dilatarán con la temperatura. Como la temperatura inicial es de 25 ºC y la final T donde los diámetros deben coincidir, se tiene: [ 1+ ( − 25) ] [ 1+ ( − 25) ] d A d0 A α ACERO dB d0 B α BRONCE = T = T Despejando T , encontramos: d 0 A 1− 25α A + d 0B 25 T = d 0Bα B − d 0 Aα A = 472,83 ºC. ( ) ( α B −1) ( ) Ejemplo 16. Un vaso de vidrio de 75 cm 3 se llena completamente de mercurio a la temperatura ambiente de 25 ºC. A la temperatura de 20 ºC, ¿Cuál será el volumen de mercurio derramado? β Hg = 18,21 x 10 -5 / ºC, α V = 9,6 x 10 -6 / ºC . Solución. El volumen derramado V D corresponde a la diferencia entre el volumen de mercurio V Hg menos el volumen del vaso V V , es decir: V = V −V D Hg V V0 1+ β Hg ΔT −V0 1+ 3 V ( ) ( ΔT ) ΔT ( β − 3 ) = α = V α 0 75 Hg −5 = ( )( )( ) V − 5 18, 21− 2, 88 × 10 = - 0,058 cm 3 Se derraman 0,058 cm 3 de mercurio Ejemplo 17. En el centro de un disco de acero hay un orificio de diámetro 8 d = 4,99 mm (a 0 °C). ¿Hasta que temperatura hay que calentar al disco para que por el orificio empiece a pasar una bola de diámetro D = 5,00 mm? El coeficiente de dilatación lineal del acero es α = 1,1 x 10 -5 K -1 . Solución. ( + αΔT ) D d 1 = , reemplazando valores: 4, 99 −5 ( 1+ 1, 1× 10 ΔT ) = 5, 00 Resolviendo encontramos ΔT = 182 , como la temperatura inicial es 0°C, es necesario elevar la temperatura hasta 182°C. Ejemplo 18. Una bola de vidrio de coeficiente de dilatación cúbica es β, se pesa tres veces en el aire y en un líquido a las temperaturas t1 y t2. Las indicaciones de las balanzas para las tres pesadas son: P, P1 y P2. Determinar el coeficiente de dilatación cúbica del líquido. Solución. Supongamos que el volumen de la bola a la temperatura t1 es igual a V, entonces a la temperatura t2 será igual a V (1 + βΔt), donde Δt = t2 – t1 Escribamos las indicaciones de las balanzas para las tres pesadas: P = ρVg , P1 = P − ρ1Vg , ( 1+ βΔt) P2 = P − ρ 1Vg . ( 1+ β1Δt) Donde ρ es la densidad del vidrio y ρ1 la densidad del líquido (ambas a la temperatura t1). En la fórmula de P despreciamos la fuerza de empuje por ser pequeña la densidad del aire. Por eso no tiene importancia la temperatura a que hizo esta pesada. De las tres ecuaciones se obtiene β1 en función de P, P1 , P2, t1, t2 y β que son conocidos: P2 − P1 + ( P − P1 ) β ( t2 − t1) β 1 = ( P − P )( t − t ) 2 2 En la práctica se suele utilizar una bola de vidrio de cuarzo cuyo coeficiente de dilatación cúbica es mucho menor que el coeficiente de dilatación cúbica de la inmensa mayoría de los líquidos. En este caso la respuesta se puede simplificar: ( P2 − P1 ) β 1 = ( P − P )( t − t 2 2 1 ) Ejemplo 19. Dos láminas, una de acero y otra de bronce, de igual espesor a = 0,2 mm, están remachadas entre sí por sus extremos de manera que a la temperatura T1 = 293 K forman una lámina bimetálica plana. ¿Cuál será el radio de flexión de esta lámina a la temperatura T2 = 393 K? El coeficiente de dilatación lineal: −5 −1 Acero es α 1= 1,1× 10 Κ y del −1 Bronce es α . 1 = 2× 10 −5 Κ 1
Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán Solución. Vamos a suponer que la línea medía de cada lámina conserva la longitud que tendría en estado no curvado. El radio r se determina por las condiciones ( − ) = l + Δl1 2 a ϕ r , Δl 1 = lα1ΔT , ( + ) = l + Δl 2 2 a ϕ r , Δl 2 = lα2ΔT , a a ( 1+ α 1ΔT )( r + ) = ( 1+ α 2ΔT )( r − ) , 2 2 Por consiguiente [ 2 + ( α + α ) ΔT ] a r = 2( α −α ) ΔT 2 1 2 = 1 22, 5cm FATIGA DE ORIGEN TÉRMICO. Consideremos una barra de sección A sujeta en ambos extremos Al aumentar la temperatura Δ t , debería producirse un cambio de longitud Δl = αΔt l pero como no se puede dilatar por estar sujeta, la tensión debe aumentar hasta un valor suficiente para producir el mismo cambio pero de sentido inverso, este esfuerzo es: F Δl = Y A l F = Yα Δt A , reemplazando obtenemos: Ejemplo 20. Una platina de cobre se suelda con dos platinas de acero, como se muestra en la figura. Las tres platinas son iguales, teniendo exactamente la misma longitud a temperatura ambiente. Calcular las fatigas que se producirán al aumentar la temperatura en Δ t grados. 9 Solución. En el esquema se muestran las dilataciones que se producirían en cada barra si no estuvieran soldadas (a) y las deformaciones por estarlo (b). También se tiene que la distribución de fuerzas elásticas que igualan la longitud del sistema, por simetría se puede considerar de la siguiente forma siguiente: F = 2F 2 1 De este esquema tenemos las siguientes relaciones geométricas entre las deformaciones: Dividiendo esta expresión entre L 0 , tenemos una relación entre las deformaciones unitarias ΔL2 ΔL'2 ΔL1 ΔL'1 − = + L L L L Como: ΔL1 ΔL '1 F1 = α 1Δt y = L L AY1 ΔL2 ΔL '2 F2 = α 2Δt y = L L AY2 Reemplazando se tiene: F1 F2 α 1Δt − = α 2Δt + AY1 AY2 Con F 2 = 2F1 F1 2F1 α 1Δt − = α 2Δt + AY AY 1 2
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