Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

1.3. CAMPO DÉBIL 91.3. Aproximación de campo débil de las ecuacionesde EinsteinDado que en relatividad general, al campo gravitacional se le asocia con la curvaturadel espacio-tiempo, entonces campos gravitacionales débiles corresponderán a espaciostiemposaproximadamente planos. En tal caso consideremosg µν = η µν + h µν (1.8)con |h µν | ≪ 1 y η µν = diag(−1, 1, 1, 1) la métrica de Minkowski. Esto es la métrica delespacio-tiempo g µν es la métrica plana más una perturbación.La inversa de g µν a primer orden en h µν esg µν = η µν − h µν , (1.9)Obtengamos las ecuaciones de campo linealizadas. Para ello, partimos del tensor deRiemannR α βµν = 2∂ [µ Γ α ν]β + 2Γ α ρ[µΓ ρ ν]β (1.10)dondeΓ α µν = 1/2g αβ (∂ ν g βµ + ∂ µ g βν − ∂ β g µν ) (1.11)son los símbolos de Christoffel. Entendamos por los paréntesis cuadrados lo siguiente:∂ [µ f ν] = (∂ µ f ν − ∂ ν f µ )/2. A primer orden en h µν el tensor de Riemann es claro que sereduce aR α βµν (1) = 2∂ [µ Γ α ν]β . (1.12)Usando (1.8) y (1.11) la aproximación del tensor de Riemann la escribimos comoR (1) αβµν = ∂ µ ∂ [β h α]ν + ∂ ν ∂ [α h β]µ . (1.13)Ahora el tensor de Ricci a primer orden en h µν esR βν(1)= η αµ R αβµν ,= ∂ µ ∂ (β h ν)µ − 1 2 (∂µ ∂ µ h βν + ∂ ν ∂ β h) , (1.14)donde hemos definido ∂ µ ≡ η µν ∂ νy h ≡ h µ µ. Ahora calculemos el escalar de Ricci aprimer orden en h µνR (1) = R ν(1) ν = η βν R (1) βν ,= η βν ∂ µ ∂ (β h ν)µ − 1 2 (∂µ ∂ µ η βν h βν + η βν ∂ β ∂ ν h) ,= η βν ∂ µ ∂ (β h ν)µ − ∂ µ ∂ µ h . (1.15)