Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

4.1.MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS 27donde ( ′ ) denota d/dx. Igualando Du(x) = u ′ (x) obtenemosa + b + c = 0 ,b + 2c = − 1∆x , (4.3)b + 4c = 0 .Además se pide que los coeficientes de términos de orden superior sean cero. Resolviendoel sistema (4.3) obtenemos a = 3/2∆x, b = −2/∆x y c = 1/2∆x. Por lo tanto,la primera derivada de u(x) la aproximamos comoDu(x) = 1 [3u(x) − 4u(x − ∆x) + u(x − 2∆x)] . (4.4)2∆xEl error en esta aproximación esDu(x) − u ′ (x) = − 1 6 (b + 8c)(∆x)3 u ′′′ (x) + · · · ,= 1 12 (∆x)2 u ′′′ (x) + O(∆x) 3 . (4.5)De manera similar podemos aproximar la segunda derivada de u(x), usando las expresionesen series de Taylor de u(x+∆x), u(x) y u(x−∆x) y resolviendo el correspondientesistema algebraico, obtenemosD 2 u(x) =1[u(x + ∆x) − 2u(x) + u(x − ∆x)] , (4.6)(∆x)2= u ′′ (x) + 1 12 (∆x)2 u ′′′ (x) + O(∆x) 4 , (4.7)donde es claro que el error en esta aproximación es del orden de (∆x) 2 .Es conveniente adoptar la siguiente notación, nos referiremos al i-ésimo punto espacialde la malla computacional como x i = i∆x, donde i = 0, 1, 2, . . . y el valor de una funciónen dicho punto como u i = u(x i ). Por lo tanto, u i+1 representa el valor de u(x) en el puntox i+1 = (i + 1)∆x. En base a esta convención, escribimos de una manera compacta lasexpresiones (4.4) y (4.6) evaluados en el punto x iDu(x i ) =D 2 u(x i ) =12∆x (3u i − 4u i−1 + u i−2 ) , (4.8)1(∆x) (u 2 i+1 − 2u i + u i−1 ) . (4.9)En el caso de una función que depende de una dimensión espacial y del tiempo denotaremosel n-ésimo tiempo por t n = n∆t, así que, u n i= u(x i , t n ) representa la función