Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

4.4. PRUEBAS DE CONVERGENCIA 31del orden de ∆x mientras que Π 1 introduce un error del orden de (∆x) 2 .No obstante, los términos de vicosidad artificial son usualmente añadidos al términode presión física, y ayuda a contribuir a la difusión de variaciones bruscas en el flujo y ladisipación de la energía en las regiones de choque.4.4. Pruebas de convergenciaCualquier cálculo numérico hecho a una sóla resolución (es decir para un sólo valor de∆x y ∆t) sin estudiar cómo la solución se comporta cuando la resolución aumenta carecede credibilidad [14]. Debemos recordar que los cálculos numéricos son aproximaciones auna ecuación diferencial. A menos que se tenga alguna idea de la magnitud del error quese comete en estas aproximaciones, no hay manera de saber si el resultado del cálculonumérico tiende a la solución correcta.Con el fin de cuantificar el error mencionado debemos llevar a cabo lo que se conocecomo prueba de convergencia. La idea clave detrás de ésto es la observación hecha porRichardson [28] de que una aproximación en diferencias finitas estable se puede interpretarcomo una función continua expandida en una serie de potencias del parámetro ∆f ∆ (x, t) = f(x, t) + ∆ɛ 1 (x, t) + ∆ 2 ɛ 2 (x, t) + · · · , (4.23)donde f(x, t) es la solución a la ecuación diferencial original, y los ɛ i (x, t) son las funcioneserror en órdenes de ∆. Para una aproximación de primer orden, nos esperamos que ɛ 1 ≠ 0,para una precisión de segundo orden tenemos ɛ 1 = 0 y ɛ 2 ≠ 0, etc.Asumamos por un momento que conocemos la solución exacta al problema. Parahacer el cálculo de la prueba de convergencia necesitamos hacer el cálculo numérico condos resoluciones diferentes ∆ 1 y ∆ 2 , con r ≡ ∆ 1 /∆ 2 > 1, y calcular el error de la soluciónen cada casoɛ ∆1 = f − f ∆1 , ɛ ∆2 = f − f ∆2 . (4.24)En la práctica, este error sólo puede ser calculado en los puntos correspondientes de lared computacional que se esté considerando. Entonces calculamos alguna norma del errorde la solución y calculamos la razón de ambas normasc(t) ≡ ||ɛ ∆ 1||||ɛ ∆2 || . (4.25)