Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

56APÉNDICE A. DERIVACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EINSTEINEntonces obtenemos∫I 1 = d 4 x 1 κ( 12 gαβ R − √ ) ∫−gR αβ δg αβ +d 4 x √ −g 1 κ gαβ δR αβ(A.6)De la definición del tensor de Ricci (ver ref. [14]), obtenemosδR αβ = δR ρ αρβ = ∇ ρ δΓ ρ αβ − ∇ β δΓ ρ ρα ,(A.7)donde ∇ ν es la derivada covariante compatible con la métrica g αβ , lo cual implica que√∇ µ g αβ = 0 y ∇ µ −g = 0. Usando estos resultados obtenemos∫I 1 = d 4 x √ −g 1 ( )1κ 2 gαβ R − R αβ δg αβ∫+ d 4 x √ 1 ( )−g∇ ρ g αβ δΓ ρ αβ − g ρα Γ β αβ . (A.8)κLa segunda integral es una integral sobre un diferencial de volumen d 4 x √ −g de laderivada covariante de una función de la métrica, en otras palabras, esta integral es untérmino de frontera. Tomemos el valor de esta función cero en la superficie de la fronterala cual se hace tender al infinito. Por lo que∫δI 1 = d 4 x √ −g 1 ( )1κ 2 gαβ R − R αβ δg αβ .El tensor de Einstein se define como(A.9)G αβ ≡ R αβ − 1 2 gαβ R .(A.10)Ahora tratemos las dos últimas integrales del lado derecho de (A.2), las cuales daránorigen al tensor energía-momento.δI 2 = − 1 ∫d 4 x ( L φ δ √ −g + √ −g 2 δg αβ ∇ α φ∇ β φ ∗)(A.11)2= − 1 ∫d 4 x √ −g ( )1/2g αβ L φ δg αβ − 2 g αλ g βγ ∇ α φ∇ β φ ∗ δg λγ2= − 1 ∫d 4 x √ ( 1−g22 gαβ L φ δg αβ − 1 )2 2 (g αλ g βγ + g αγ g βλ )∇ α φ∇ β φ ∗ δg λγ= − 1 ∫d 4 x √ ( )1−g22 gαβ L φ − 2 ∇ (α φ∇ β) φ ∗ δg αβ(A.12)Definimos el tensor energía-momento comoT αβ ≡ 2 ∂ (α φ∂ β) φ ∗ − 1 2 gαβ ( 2 ∂ µ φ∂ µ φ ∗ + m 2 c 2 φφ ∗ ) ,(A.13)Finalmente comparando (A.9) y (A.12) y usando las definiciones (A.10) y (A.13)obtenemos las ecuaciones de campo de EinsteinR αβ − 1 2 gαβ R = 1 2 κT αβ .(A.14)