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40CAPÍTULO 5. HIDRODINÁMICA: SOLUCIÓN NUMÉRICA5.3. La ecuación de BurgersAhora presentamos los resultados obtenidos de (5.4) y (5.5) con las condiciones inicialesρ(x, 0) = ρ 0 , (5.11)v(x, 0) = Ae −(x−x 0) 2 /σ 2 + u 0 . (5.12)con ρ 0 = 2 y u 0 = 0. La ecuación (5.5) es la ecuación diferencial no lineal de tipohiperbólico más sencilla y es llamada ecuación de Burgers. Esta tiene solución analíticasi le es añadido un término de disipación, esto es∂ t f + f∂ x f = ν∂xf 2 (5.13)con ν arbitraria y mediante una transformación de Cole-HopfΘ(y, t) = e − 1 R y2ν α dξf(ξ,t) , (5.14)donde α es una constante arbitraria, se convierte en una ecuación de difusión lineal∂ t Θ = ν∂ 2 xΘ . (5.15)La solución a (5.15) esΘ(x, t) =∫1 ∞√πνt−∞dyΘ(y, 0)G(x, y) , (5.16)G(x, y) = e − (y−x)24νt , (5.17)siendo G(x, y) la función de Green. Entonces la solución a (5.13) esf(x, t) =∫ ∞dy(y − x)Θ(y, 0)G(x, y)−∞t ∫ ∞dyΘ(y, 0)G(x, y) . (5.18)−∞Para un estudio numérico a partir de la transformacion de Cole-Hopf ver [31]. Sinembargo, la solución analítica no es sencillo de tratar y por ello, nos limitaremos a hacer elanálisis de convergencia. En las gráficas 5.3, 5.4 y 5.5 se muestran los resultados obtenidosusando las resoluciones ∆x 1 = 1 × 10 −4 ∆x 2 = 2 × 10 −4 y ∆x 3 = 4 × 10 −4 . Se calculó lanorma L 1 de los errores |ɛ 12 | = |f 1 − f 2 | y |ɛ 23 | = |f 2 − f 3 | (f = ρ, v) y el factor deconvergencia dadas en (4.28).
5.3. LA ECUACIÓN DE BURGERS 41(a)(b)Figura 5.3: Solución numérica de la velocidad y densidad respectivamente para el sistema(5.4)-(5.5) con condiciones iniciales (5.11)-(5.12) usando ∆x 1 = 1 × 10 −4 .
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