Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

3.2.ANÁLISIS DE INESTABILIDAD DE JEANS 213.2. Análisis de inestabilidad de JeansEstudiemos las soluciones del sistema linealizado (3.6)-(3.8) buscando soluciones en laforma de ondas planasδu i = δ i0 e i(⃗ k·⃗r+ωt) , (3.9)donde las perturbaciones δu i con i = 1, 2, 3 corresponden a ρ 1 , ⃗v 1 y U 1 , y las correspondientesamplitudes δ 0i a D, ⃗ V y U, respectivamente. El vector ⃗r es el vector posición, ⃗ k es elvector de onda y ω es la frecuencia angular de oscilación, el cual en general es complejo.Usando (3.9) en (3.6)-(3.8) y definiendo δ 0 ≡ D/ρ 0 obtenemosωδ 0 + ⃗ k · ⃗V = 0 (3.10)ωV ⃗ + U ⃗ k + 24m δ 0k 2 ⃗ k 2 = 0 , (3.11)k 2 U + 4πGρ 0 δ 0 = 0 . (3.12)Brevemente consideremos las soluciones con ω = 0, es decir, las que no dependen deltiempo. Es evidente de (3.10), que el vector de onda ⃗ k es perpendicular a la velocidad ⃗v 1y se cumple que ∇ × ⃗v 1 ≠ 0. Juntando estas expresiones obtenemos( ) 16πGρ0 m 2 1/4k =. (3.13) 2Ahora tratemos las soluciones dependientes del tiempo, ω ≠ 0. Derivemos (3.6) respectoa t y considerando que ⃗v 1 es una función suave tal que ∂ t ∇ ·⃗v 1 = ∇ · (∂ t ⃗v 1 ), y luegosustituimos las expresiones (3.7) y (3.8) para obtener∂ 2 t ρ 1 − 4πGρ 0 ρ 1 + 24m 2 ∇2 ∇ 2 ρ 1 = 0 . (3.14)Sustituyendo (3.9) en (3.14) se llega a la relación de dispersiónω 2 =24m 2 k4 − 4πGρ 0 . (3.15)Esta relación de dispersión es análoga a la que encontró Jeans [20], siendo la diferenciaque la forma del potencial cuántico hace que la magnitud del vector de onda tengaexponente 4. Para soluciones estables, pedimos que ω > 0, lo cual implica( ) 16πGρ0 m 2 1/4k > k J ≡, (3.16) 2