Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

50CAPÍTULO 6. COLAPSO ESFÉRICO6.1. Ecuación de continuidadLa ecuación de continuidad sin fuentes en forma integral es∫ ∮∂ρdV + ρvdA = 0 . (6.1)∂tVLa primera integral la podemos aproximar tomando la densidad en el valor medio ¯rEntonces,Sρ(¯r) = ρ(r + dr/2) ≈ ρ(r) + 1 2 (∂ rρ)dr . (6.2)∫∂ρdV ≈ ∂ ((ρ + 1 )∂t V ∂t 2 ∂ rρdr)Adr . (6.3)Tomando los terminos a primer orden en dr, se tiene que∫∂ρdV ≈ ∂ (ρA)dr . (6.4)∂t ∂tVPara el segundo término, es claro que en las fronteras tanto la densidad ρ como lavelocidad v son cero. Así que la integral de superficie la calculamos evaluando la contribuciónde la esfera de radio r y en la esfera de radio r + dr, esto es, la esfera inferior y lasuperior respectivamente. Por lo que∫ρvdA = ρ(r + dr)v(r + dr)A(r + dr) − ρ(r)v(r)A(r) (6.5)S= (ρ + ∂ r ρdr)(v + ∂ r ρdr)(A + ∂ r dr) − ρvA . (6.6)Aproximando esta expresión a primer orden en dr, resulta∫ρvdA ≈ drv∂ r (ρA) + drρA∂ r v . (6.7)SUsando (6.4) y (6.7), la ecuación de continuidad la escribimos∂ t (ρA) = −v∂ r (ρA) − ρA∂ r v . (6.8)o bien,dondeddt (ρA) = −ρA∂ rv , (6.9)ddt = ∂ t + drdt ∂ r y v = drdt . (6.10)