Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

6.2.ECUACIÓN DE MOMENTOS 516.2. Ecuación de momentosLa ecuación de momentos sin presión en forma integral es∫∫∫dV ∂ t (ρ⃗v) = − dA ⃗ · (ρ⃗v⃗v) + dV ρf ⃗ , (6.11)VSdonde ⃗ f = ⃗ f(r, t) es una fuerza externa. Por simplicidad, consideremos que esta fuerza yel campo de velocidades están en la dirección radial, esto es, ⃗ f = f(r, t)ˆr y ⃗v = v(r, t)ˆr.Usando la misma técnica con que se aproximó la ecuación de continuidad y tomandoel valor medio de la densidad, el lado derecho de (6.11) lo escribimos∫∫dV ∂ t (ρ⃗v) = ˆr dV ∂ t (ρv) (6.12)VV∫ )≈ ˆr∂ t(ρ(r + dr/2)v(r + dr/2) dV(6.13)V≈ ˆr∂ t (ρvA)dr . (6.14)El primer término del lado derecho de (6.11) lo aproximamos a primer orden en dr∫dA ⃗ · (ρ⃗v⃗v) ≈ ˆrdr ( 2ρAv∂ r v + v 2 ∂ r (ρA) )S= ˆrdr∂ r (ρAv 2 ) (6.15)De manera similar, el término de la fuerza externa toma la forma∫∫dV ρ(r, t)f(r, t)ˆr ≈ ˆrρ(r + dr/2)f(r + dr/2) dV (6.16)V≈ ˆr(ρ + 1/2∂ r ρdr)(f + 1/2∂ r fdr)Adr (6.17)≈ ˆrρ(r, t)f(r, t)Adr (6.18)Usando (6.14), (6.15) y (6.18), la ecuación de momentos la aproximamos a primerorden en dr comoO bien la ecuación (6.19) la expresamos como∂ t (ρvA) = −∂ r (ρAv 2 ) + ρAf . (6.19)ddt v = f . (6.20)De las expresiones (6.8) y (6.19) es claro que ahora tenemos ecuaciones de conservaciónpero para las variables, v y ρA.VV