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44CAPÍTULO 5. HIDRODINÁMICA: SOLUCIÓN NUMÉRICA5.4. Potencial cuadráticoesto esFinalmente vamos a resolver las ecuaciones hidrodinámicas usando un potencial cuadrático,con las condiciones iniciales∂ t ρ + ∂ x (ρv) = 0 , (5.19)∂ t v + v∂ x v = −∂ x( 12 kx2 ). (5.20)ρ(x, t) = Ae −(x−x 0) 2 /σ 2 + ρ 0 , (5.21)v(x, t) = 0 . (5.22)donde hemos tomado una gaussiana como condición inicial para la densidad para acercarselo más posible al estado base del oscilador armónico cuántico siendo una diferencia queestá subida una cantidad ρ 0 . La velocidad inicial se tomó igual a cero por la siguienterazón. La función de onda del oscilador cuántico unidimensional la conocemos y esψ(x, t) = C n H n (x)e −x2 /2 e −iEnt/ , (5.23)donde E n = ω(n + 1/2), con ω la frecuencia del oscilador y n = 0, 1, 2, . . .. Entonces,usando la definición (2.5) y S = E n t/ obtenemos que v = 0.En la gráfica 5.6 se muestrán las soluciones numéricas de la velocidad y densidad endistintos tiempos tomando una resolución de ∆ 1 = 1 × 10 −4 . Las normas L 1 se calcularoncomo||ɛ 12 || = ||f ∆x1 − f ∆x2 || y ||ɛ 23 || = ||f ∆x2 − f ∆x3 || (f = ρ, v) , (5.24)donde ∆ 1 = 1 × 10 −4 , ∆ 2 = 2 × 10 −4 y ∆ 3 = 4 × 10 −4 son las discretizaciones de la mallacomputacional, ver gráfica 5.7 y el factor de convergencia comoc(t) = ||ɛ 23||||ɛ 12 || . (5.25)por lo que nos esperamos que éste sea alrededor de dos. En la gráfica 5.8 se muestra elfactor de convergencia para la velocidad y densidad.
5.4. POTENCIAL CUADRÁTICO 45(a)(b)Figura 5.6: En 5.6a y 5.6b se muestran los resultados de la velocidad y densidad, respectivamente,para el sistema hidrodinámico con potencial cuadrático en distintos tiempos.
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