Formacion de estructura con campos escalares: la ... - Cinvestav

4.2. CONDICIONES A LA FRONTERA 29Como ejemplo veamos un caso sencillo, consideremos la ecuación escalar no lineal,∂ t u + ∂ x (u 2 /2) = 0 , (4.16)llamada ecuación de Burgers. En base a (4.11), identificamos el flujo numérico comoF (U i ) = U 2 i /2. Por lo tanto, la forma conservativa discretizada de la ecuación de BurgersesU n+1i = U n i − ∆t∆x [U 2 i /2 − U 2 i−1/2] . (4.17)Esto tambien puede ser visto, si discretizamos la derivada temporal como∂ t U ≈ U n+1i − Uin∆t, (4.18)y la derivada espacial por∂ x U ≈ U 2 i /2 − U 2 i−1/2∆x. (4.19)Debido a estas discretizaciones es claro que (4.17) es una aproximación a primer ordenen ∆x. Antes de finalizar esta sección mencionaremos el siguiente teorema (1960):teorema de Lax-Wendroff. Para sistemas hyperbólicos de leyes de conservación,una aproximación numérica escrita en forma conservativa, si es convergente, convergeráa una solución débil del sistema original.Para fines prácticos entendamos por solución débil a una solución físicamente aceptable.Para una definición matemática podemos ver la referencia [26].4.2. Condiciones a la fronteraCuando resolvemos ecuaciones diferenciales mediante métodos numéricos es necesarioimponer condiciones a la frontera al sistema debido a que el dominio de las variablesindependientes es finito. A continuación damos una breve explicación de las condicionesa la frontera típicamente usadas.Condición a la frontera saliente. Se trata de una condición que se impone paramodelar fronteras abiertas que permiten el flujo afuera del dominio de las solucionespero no hacia dentro. La manera de implementar esto es hacer simplemente unaextrapolación de la función con los puntos interiores de la red computacional.