Tema 3: Resolución de sistemas mediante determinantes

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°§¢§£°§¢§£a) x – y + 3z = 13x – y + 2z = 3–2y +7z = 01 –1 3)A = 3 –1 2 A' =(0 –2 71 –1 3 1)3 –1 2| (0 3–2 7 0Calculamos el rango de A:1 –1| | = –2 ? 0 y | A | = 0 8 ran (A) = 20 –2Calculamos el rango de A':|1 –1 1|3 –1 30 –2 0= 0 (la 1. a y la 3. a columnas son iguales) 8 ran (A' ) = 2El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la2. a ecuación:x – y + 3z = 1–2y + 7z = 0°§¢§£x – y = 1 – 3z–2y = –7zSoluciones: x = 1 + l, y = 7l, z = 2lz8 x = y + 1 – 3z = 1 + — 27z8 y = — 2b)x – y + 3z = 13x – y + 2z = 3–2y + 7z = 101 –1 3)1 –1 3 1)A = 3 –1 2 A' = 3 –1 2| (0 (0 3–2 7–2 7 10Sabemos, por el apartado a), que ran (A) = 2.Calculamos el rango de A':|1 –1 1|3 –1 3 = 20 ? 0 8 ran (A' ) = 3 ? ran (A)0 –2 10El sistema es incompatible.4. Resuelve estos sistemas:° x + y = 3° 3x + 4y = 4§ y + z = 5§a) ¢b) ¢ 2x + 6y = 23x + z = 4§§£ –2x +3y = 1£ 5x – y + z = 6a) x + y = 31 1 0)1 1 0 3)y + z = 5A = 0 1 1 A' = 0 1 1 5x + z = 4 1 0 1 1 0 1 45x – y + z = 6(5 –1 1(5 –1 1 6°§§¢§£12Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
°§¢§£°§§¢§£UNIDAD3|1 1 0|Como 0 1 1 = 2 ? 0 8 ran (A) = 31 0 1Calculamos el rango de A':| A' | = 0 8 ran (A' ) = 3El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de laúltima ecuación y aplicar la regla de Cramer:| | |3 1 01 3 01 1 35 1 1|0 5 1|0 1 5|4 0 1 21 4 1 41 0 4 6x = = = 1; y = = = 2; z = = = 32 22 22 2Solución: x = 1, y = 2, z = 3b) 3x + 4y = 42x + 6y = 23–2x +3y = 1(3 4)3 4 4)A = 2 6 A' = 2 6| (–2 23–2 33 1Como | A' | = –309 ? 0, entonces ran (A' ) = 3 ? ran (A).El sistema es incompatible.Página 851. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:° x +11y –4z = 0° 3x –5y + z = 0§§ –2x + 4y + z = 0a) ¢ x –2y + z = 0b) ¢§x + y –2z = 0£ x + y = 0§£ 2x –16y + 5z = 0a) 3x –5y + z = 0x –2y + z = 0x + y = 0°§¢§£|3 –5 1|| A | = 1 –2 1 = –5 ? 01 1 0Por tanto, ran (A) = 3 = n.° de incógnitas.El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0b) x +11y –4z = 0–2x + 4y + z = 0x + y –2z = 02x – 16y + 5z = 0|1 11 –4|–2 4 11 1 –2= –18 8 ran (A) = 3 = n.° de incógnitasEl sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes13
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