Tema 3: Resolución de sistemas mediante determinantes

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s29Dadas las matrices:3 1)–2 0 1 1 2 –9 3A =())B = 0 1 C =(D =1 –1 53 4( (–1 2–8 17)halla la matriz X que verifica AB + CX = D.AB + CX = D 8 CX = D – AB 8 X = C –1 · (D – AB)• Calculamos C –1 ( | C | = –2 ? 0 8 existe C –1 ):a ijÄÄÄ8 Adj (C ) ÄÄÄ8 (Adj (C )) t 1ÄÄÄ8 (Adj (C )) t| C |4 3 4 –3 4 –2 –2 1( ))8( ) 8(8()= C –12 1 –2 1 –3 1 3/2 –1/2• Calculamos A · B:(3 1)–2 0 1 –7 0A · B =() · 0 1 =1 –1 5( )–1 2 –2 10• Por tanto:–2 1 –9 3 –7 0 –2 1 –2 3 )X =()·)–(=()·(=3/2 –1/2 [( –8 17 –2 10 3/2 –1/2 –6 7)]–2 1( ) 0 1s30Halla X tal que 3AX = B, siendo:(1 0 2) (1 0 2)A = 0 1 1 B = 1 0 11 0 1 1 1 113AX = B 8 X = A –1 · B3Calculamos A –1 ( | A | = –1 ? 0 8 existe A –1 ):a ijÄÄÄ8 Adj (A) ÄÄÄ8 (Adj (A)) t 1ÄÄÄ8 (Adj (A)) t| A|( –21 –1 –1)0 –1 01 1(1 1 –1) (1 0 –2) (–1 0 2)8 0 –1 0 8 1 –1 –1 8 –1 1 1 = A –1–2 –1 1 –1 0 1 1 0 –1Por tanto:(–1 0 2)1 0 2)1 2 0) (1/3 2/3 0)1X = –1 1 1 · 1 0 11= 1 1 0 = 1/3 1/3 031 0 –1 (1 1 13 (0 –1 1 0 –1/3 1/350Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
UNIDAD3s31Resuelve la ecuación AXB = C siendo:3 2 2 3 1 1A =( )))B = C =4 3( 1 2( 1 1☛ Multiplica C por A –1 por la izquierda y por B –1 por la derecha.AXB = C 8 A –1 · A · X · B · B –1 = A –1 · C · B –1 8 X = A –1 · C · B –1Calculamos A –1 y B –1 ( | A | = 1 y | B | = 1 8 existen A –1 y B –1 ):a ijÄÄÄ8 Adj (A) ÄÄÄ8 (Adj (A)) t 1ÄÄÄ8 (Adj (A)) t| A|3 4 3 –4 3 –2 3 –2( )))8( ) 8(8(= A –12 3 –2 3 –4 3 –4 3a ijÄÄÄ8 Adj (B) ÄÄÄ8 (Adj (B)) t 1ÄÄÄ8 (Adj (B)) t| B|2 1 2 –1 2 –3 2 –3( ))))8 8 8 = B –13 2 ( –3 2 ( –1 2 ( –1 2Por tanto:X = A –1 · C · B –1 3 –2 )1 1 )2 –3 )1 1 2 –3 )=(·(·(=( )·(=–4 3 1 1 –1 2 –1 –1 –1 22 3 1 1s32 Dada A =( )), halla una matriz X tal que AXA = .1 2( 2 3☛ Multiplica dos veces por A –1 , una vez por la izquierda y otra por la derecha.Calculamos A –1 (| A | = 1 ? 0 8 existe A –1 ):a ijÄÄÄ8 Adj (A) ÄÄÄ8 (Adj (A)) t 1ÄÄÄ8 (Adj (A)) t| A|2 1 2 –1 2 –3 2 –3( )))8( ) 8(8(= A –13 2 –3 2 –1 2 –1 2Por tanto:1 1AXA = 8 A –1 AX AA –1 = A –1 1 1( )( ) A –12 32 3(En el 1. er miembro tenemos A –1 A = AA –1 = I 8 IXI = X).X = A –1 1 1 · · A –1 2 –3 1 1 2 –3( )) ))= · · =2 3 ( –1 2 (–4 –7 )2 3 (2 –3 )–1 2–1 –2=(·(=3 5 –1 2 ( 1 1 )1 –1 ) ( –1 1Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes51
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