Tema 3: Resolución de sistemas mediante determinantes

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|1 2 0|1Como |2? 0 y 1 1 0 ? 0, entonces: ran (A) = 2 ? ran (A') = 31 1|2 3 2El sistema es incompatible.• Si m ? 1: ran (A) = ran (A') = 3 = n.° de incógnitas. El sistema es compatibledeterminado. Lo resolvemos:§ 2 3 4 §0 2 30 m 1x =4 – 6m=2 – 2m 2 – 2m=1 0 31 0 1§ 2 2 4 §y = =2 – 2m§ 2 3 2 §42 – 2m1 2 01 m 0z =2m – 4=2 – 2m 2 – 2m=3m – 2m – 1m – 21 – md) Razonando como en los casos a) y b), tenemos:|1 m 1|| A | = = m 2 4 ± √16 – 121 3 1 – 4m + 3 = 0 8 m =2m 1 1m = 3m = 1• Si m = 3:1 3 1 4)A' = 1 3 1 5(3 1 1 4La 1. a y la 2. a ecuación son contradictorias.El sistema es incompatible.• Si m = 1:A' =Como1 1 1 4)1 3 1 5(1 1 1 41|11 3|La 1. a y la 3. a ecuación son iguales.? 0, ran (A) = ran (A') = 2 < n.° de incógnitas.El sistema es compatible indeterminado.Resolvemos el sistema para m = 1:x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0°¢£Hemos eliminado la 3. a ecuación. Tomamos z = l:42Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
°¢£°§¢§£UNIDAD3x + 2y = –3lx + y = –ly = –2lx = lLas soluciones son: x = l, y = –2l, z = l.• Si m ? 1 y m ? 3: ran (A) = ran (A') = 3 = n.° de incógnitas. El sistema escompatible determinado.Resolvemos el sistema en este caso (m ? 1 y m ? 3):4 m 15 3 1§ 4 1 1 §x = =m 2 – 4m + 31 4 11 5 1§ m 4 1 §y = =m 2 – 4m + 31 m 41 3 5§ m 1 4 §z = =m 2 – 4m + 31 – mm 2 – 4m + 31 – mm 2 – 4m + 35m 2 – 16m +11m 2 – 4m +3s22Discute y resuelve los siguientes sistemas homogéneos en función delparámetro a:° 2x – y + z = 0° x + y + z =0§§a) ¢ x + 2y –3z = 0b) ¢ ax +2z =0§§£ 3x – 4y – az = 0£ 2x – y + az =0a) 2x – y + z = 0x + 2y –3z = 03x – 4y – az = 0A =2 –1 1)1 2 –3(3 –4 –aComo es homogéneo, sabemos que ran (A) = ran (A').| A | = –5a – 25 = 0 8 a = –52 –1• Si a = –5 8 Como | | = 5 ? 0 8 ran (A) = ran (A') = 21 2El sistema es compatible indeterminado.Lo resolvemos tomando las dos primeras ecuaciones y pasando z al segundomiembro:2x – y = –zx + 2y = 3z°¢£Restamos a la 1. a ecuación el doble de la 2. a .Sumamos a la 2. a ecuación el doble de la 1. a .Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes43
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