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IX CONGRESO NACIONAL DEL COLOR. ALICANTE 2010
( , b)
= d ( b,
a)
≤ p(
a,
b)
1
0 d a ≤ y d ( a , a)
= 0 para cada ( a, b)
∈ ℑ
≤ ℑ
ℑ
Sean ahora ( , b)
, ( b, c)
, ( a, c)
∈ ℑ y ε > 0
podemos encontrar sumas finitas de probabilidades arbitrariamente próximas a ( a, b)
ℑ
(Ec. 4)
a cualesquiera. Como la ecuación (3) indica que
d ℑ , existen
estímulos cromáticos ( u 1 , u2
) ,..., ( um−1
, um
) ∈ ℑ y ( v 1 , v2
) ,..., ( vn−1
, vn
) ∈ ℑ tales que
a = u1
, b = um
= v1,
c = vn
y además se cumple que ∑ ( ) ( )
− m 1
ε
d ℑ ui
, ui+
1 ≤ d ℑ a,
b +
i=
1
2
y
∑ ( ) ( )
− n 1
ε
d ℑ vi
, vi+
1 ≤ d ℑ b,
c + .
2
Luego de la ecuación (3) se deduce que
i=
1
d
ℑ
m−1
( , c)
≤ ∑d ℑ(
ui
, ui+
1 ) + ∑d
ℑ ( v j , v j+
1 ) ≤ d ℑ(
a,
b)
+ d ℑ ( b,
c)
i=
1
n−1
a + ε . El razonamiento precedente no
j=
1
depende del valor (positivo) elegido para ε , lo cual demuestra que
d a , c d a,
b + d b,
c + para cualquier > 0
d ℑ a, c no puede ser
ℑ(
) ≤ ℑ ( ) ℑ ( ) ε
mayor que ( a , b)
d ( b,
c)
d ℑ + ℑ y por tanto llegamos a que:
d
ℑ
ε . Esto implica que ( )
( a , c)
d ( a,
b)
+ d ( b,
c)
para cada ( a,
b)
, ( b,
c)
, ( a,
c)
∈ ℑ
≤ ℑ
ℑ
(Ec. 5)
Las ecuaciones (4) y (5) indican que d ℑ cumple las propiedades matemáticas de una
pseudométrica independientemente del conjunto ℑ . En este sentido podemos definir esta
aplicación para el conjunto total ℑ = ζ × ζ de pares de estímulos, es decir d ≡ dζ
× ζ . En este caso
tendremos que d es una pseudométrica sobre el espacio de color ζ y así ( ζ , d)
es un espacio
pseudométrico, es decir, un espacio métrico con la salvedad de que pueden existir a, b ∈ζ
tales
que a ≠ b pero d ( a,
b)
= 0 .
RESULTADOS
En primer lugar definiremos los subconjuntos ( ζ ) ζ ζ
1
probabilidad de discriminación mayor o igual a como:
n
χ n ⊂ × de pares de estímulos con
⎧
1 ⎫
χ n ( ζ ) = ⎨(
a,
b)
∈ζ
× ζ : p(
a,
b)
≥ ⎬ , siendo n ∈ N
(Ec. 6)
⎩
n⎭
Teorema: Con la notación considerada en las ecuaciones (1)-(6) se tiene que p( a , b)
= d χ ( )( a,
b)
2 ζ
para cada ( a , b)
∈ ( ζ ) . Además, si n ∈ N y ( a, b)
∈ χ n ( ζ ) se cumple que
n
∑
i=
1
( a,
b)
≤ p(
u , )
i ui+
1
χ 2
p , u b = u y ( u , u ) ∈ χ ( ζ ) para i = 1,...,
n .
a = 1 , n + 1 i i+
1 n
Demostración: Sean los pares ( , ) , ( , ) ∈ ( ζ )
u b
n
∑
i=
1
i = = = n . En virtud
n
2
χ ζ en virtud de
ℑ = ζ ) se alcanza necesariamente para sumas de
i i+
1 χ 2 u a para 1 1 y , ,..., 1 + u b u a n
de (6) resulta evidente que p(
u , u + ) ≥ , con lo que al ser 0 ≤ d ( )( b,
a)
≤ 1
2
i
i 1
(4), el ínfimo de la ecuación (3) (tomando ( )
χ 2
102