Chap 1,2 et 3 (P. Mendels)

18 Gaz d’électrons libres : une première modélisation du métal
2.2.3 Introduction des conditions aux limites périodiques (B.V.K.)
La manipulation des conditions aux limites stationnaires (Ψ = 0 aux ”bords de la boîte”)
est, en général, une source de complication des calculs.
Pour un solide macroscopique, pour lequel on néglige les effets de bord, il est équivalent d’utiliser
des conditions aux limites périodiques, encore appelées Born Von Karman (B.V.K.) :
on n’impose plus à la fonction d’onde de s’annuler sur les bords de la boîte mais d’être multipériodique,
de période L x , L y , L z suivant x, y, z, l’idée physique étant que si l’on juxtapose
des solides identiques, on attend que les propriétés physiques, dictées par la fonction d’onde,
soient identiques.
- Solution de l’équation de Schrodinger : les solutions sont des ondes planes :
Ψ ⃗k (⃗r) = 1 √
V
e i⃗ k.⃗r
La périodicité impose :
⃗ k = (nx
2π
L x
, n y
2π
L y
, n z
2π
L z
) avec n x , n y , n z ∈ Z
n x , n y , n z peuvent ici être nuls
- Densité d’états :
• dans l’espace des ⃗ k
En raison du doublement du maillage dans toutes les directions de l’espace des ⃗ k, la densité
est 8 fois plus faible mais l’espace n’est plus réduit à la partie k x , k y , k z > 0, il est donc huit
fois plus grand.
g( ⃗ k) = V
8π 3 × 2 (↑↓)
(compte tenu du spin)
• en énergie :
g(ε) est inchangée ( vérifiez-le !)
g(ε) = V ( 2m
) 3/2ε
1/2
2π 2 2
M1PF-MAG2 2012-2013, Matière condensée (I)