Chap 1,2 et 3 (P. Mendels)

2.3 Population statistique 23
approximation, que la différence majeure dans la répartition des électrons sur les états qui
leur sont offerts se situe dans une tranche kT au voisinage du niveau de Fermi. On peut
noter aussi que cette remarque ne s’applique pas lorsque les températures sont de l’ordre de
-ou excèdent- la température de Fermi comme en astrophysique.
On peut ainsi calculer qualitativement, à titre d’exemple, la capacité calorifique d’un gaz
d’électrons :
1.0
f FD
0.8
0.6
0.4
0.2
T = 500 K
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
T=0
T = 500 K
4.6 4.8 5.0 5.2 5.4
0.0
0 2 4 6 8 10
/k B
(10 4 K)
Les électrons dans une tranche kT au voisinage du niveau de Fermi, donc au nombre de
∼ g(ε F ) × kT gagnent une énergie kT , à la température T .
Le gain d’énergie totale est
∆E tot ∼ g(ε F )(kT ) 2 .
On prédit ainsi une capacité calorifique C el linéaire en T que l’on peut réécrire, sachant que
g(ε F ) ∼ N ε F
,
C el ∼ Nk T T F
.
Comparée à la capacité calorifique d’un gaz parfait, elle est plus faible d’un facteur ∼ T T F
qui correspond à la faible fraction des électrons (ceux au voisinage du niveau de Fermi) que
l’on peut exciter. C’est une des manifestations du principe de Pauli.
Développements de Sommerfeld
En règle générale, les valeurs moyennes à calculer sont des fonctions à variation lente, comparée
à celle de la fonction de Fermi-Dirac, au voisinage du potentiel chimique.
Elles s’écrivent sous la forme
I =
∫ +∞
0
h(ε) f F D (ε) dε
Pour calculer ce type de développement, on utilise le fait que la dérivée de la fonction de
Fermi-Dirac est très piquée autour de µ, avec une largeur à mi-hauteur typique de 2kT et
1
une hauteur de
4kT .
M1PF-MAG2 2012-2013, Matière condensée (I)