Chap 1,2 et 3 (P. Mendels)

24 Gaz d’électrons libres : une première modélisation du métal
On montre ainsi que
I = H(µ) + π2
6 (kT )2 h ′ (µ)
où H est une primitive de h s’annulant en 0.
Potentiel chimique 3D
N =
∫ +∞
0
∫
g(ε)f F D (ε) dε = g( ⃗ k)f F D (ε( ⃗ k)) d 3 ⃗ k
⃗ k
”µ est la variable conjuguée de N.”
Ici h(ε) = g(ε) = Aε 1/2 (à 3D).
En appliquant le développement de Sommerfeld et en utilisant, pour éliminer A,
ce qui donne :
on trouve
N =
∫ εF
0
g(ε)dε,
A = 3N 2 ε −3/2
F
[ (
µ = ε F 1 − π2 T
) 2 ]
12 T F
Un exemple : capacité calorifique
L’énergie totale du gaz d’électrons est donnée par :
∫ +∞
∫
E tot = g(ε)f F D (ε) ε dε = ε( ⃗ k)g( ⃗ k)f F D (ε( ⃗ k)) d 3 ⃗ k
⃗ k
0
En utilisant la même méthode que pour le calcul de N ci-dessus avec h(ε) = Aε 3/2 et en
substituant à la fois la valeur de A en fonction de ε F et la valeur de µ en fonction de T , on
obtient
E tot = 3 (
5 Nε F
[1 + 5π2 T
) 2 ]
12 T F
La capacité calorifique se déduit de E tot
M1PF-MAG2 2012-2013, Matière condensée (I)