Chap 1,2 et 3 (P. Mendels)

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36 Solides Cristallins : Structures et Diffraction Les objets diffusants seront : – le cortège électronique dans le cas des rayons X ; les rayons X sont peu absorbés ; l’amplitude diffusée par un atome est la transformée de Fourier de sa distribution électronique ; elle est approximativement proportionnelle au nombre d’électrons, Z. – les noyaux dans le cas des neutrons ainsi que les moments magnétiques atomiques puisque les neutrons ont un spin 1/2 : les neutrons sont peu absorbés dans la plupart des cas mais certains éléments comme l’hydrogène, le cadmium sont très absorbants. – à nouveau le cortège électronique quand on utilise des ondes associées aux électrons, on parle alors de microscopie électronique ; les électrons interagissent fortement avec le cortège électronique du matériau et ne sont utilisables que dans le cas des couches minces ou par réflexion. C’est une technique fort utile dans le cas de l’étude des surfaces. On peut de manière générale donner une représentation spatiale des éléments diffusants sous la forme : A(⃗r) = f motif (⃗r) ∗ ∑ δ(⃗r − T ⃗ ) ⃗T ∈RD où ⃗ T est un vecteur du réseau de l’espace réel appelé espace direct (RD) : ⃗T = n 1 ⃗a 1 + n 2 ⃗a 2 + n 3 ⃗a 3 , (n 1 , n 2 , n 3 ) entiers f motif (⃗r) représente le facteur de diffusion associé au motif, qui est reproduit en tous les points du réseau via l’opération produit de convolution avec les fonctions δ(⃗r − ⃗ T ) . 3.2.1 Amplitude diffractée par un cristal : calcul général On considère une onde plane incidente caractérisée par le vecteur d’onde ⃗ k i , diffractée avec le vecteur d’onde ⃗ k f . On suppose la diffusion élastique, | ⃗ k i | = | ⃗ k f | et on note ⃗ K = ⃗ k f − ⃗ k i le vecteur de diffusion. Entre deux points séparés de ⃗r, les ondes diffusées seront déphasées de ⃗ K · ⃗r 0 Figure 3.4 – Une onde incidente, de longueur d’onde λ et de vecteur d’onde ⃗ k i , est diffusée avec un vecteur d’onde ⃗ k f , de même module, avec un angle 2 θ par rapport à la direction incidente. Le vecteur de diffusion ⃗ K est orthogonal à la bissectrice de ( ⃗ k i , ⃗ k f ). On a ∥ ⃗ K∥ = 2π λ sin θ L’amplitude totale diffractée s’écrit : M1PF-MAG2 2012-2013, Matière condensée (I)
3.2 Diffraction par un solide cristallin 37 A( ⃗ K) = = ∫ ∫ ⃗r A(⃗r)e iK·⃗r ⃗ d 3 ⃗r ∫ f motif (⃗r) e iK·⃗r ⃗ d 3 ⃗r × ∑ δ(⃗r − T ⃗ )e iK·⃗r ⃗ d 3 ⃗r ⃗r ⃗r ⃗T ∈RD D’où A( ⃗ K) = F(f motif )[ ⃗ K] × ∑ ⃗T ∈RD e i ⃗ K· ⃗T (1) Le premier terme fait intervenir une transformée de Fourier associée au motif choisi. On l’appelle le facteur de structure. Le deuxième terme est la transformée de Fourier d’une série de pics de Dirac situés aux noeuds du réseau. On pourrait l’appeler le facteur de réseau. De façon abusive (pour les maths), on appelle cette TF, transformée de Fourier du réseau direct. Nous allons successivement calculer ces deux termes. 3.2.2 Pics de Bragg : le deuxième terme de l’équation (1) L’équation (1) fait apparaître immédiatement une condition pour qu’il y ait, dans le cas d’un cristal infini, une intensité diffractée non nulle : ∀ ⃗ T ∈ RD, = 1 ⃗K · ⃗T = 2pπ p entier, (2) e i ⃗ K· ⃗T ce qui s’interprète aisément par un déphasage de p×2π entre les ondes diffusées par chaque point du réseau direct pour produire des interférences constructives. On a donc une simple transposition de ce qui est connu en optique pour les réseaux de fentes (cours de Licence), de points 2D (cours d’Optique M1) et se ramène, mathématiquement parlant, à la propriété : la transformée de Fourier d’un peigne de Dirac (une série de pics de Dirac) est un peigne de Dirac. Pour un cristal infini, la transformée de Fourier de ∑ T ⃗ ∈RD e i K· ⃗ ⃗T est donc, pour le cas 3D, une série de pics de Dirac ; la relation (2) définit un ensemble de vecteurs K ⃗ de l’espace appelé espace réciproque (RR), notés G. ⃗ En choisissant une origine O ⋆ , on peut construire un réseau de points M ⋆ tel que −−−→ O ⋆ M ⋆ = G, ⃗ où G ⃗ ∈ RR. Ce réseau de points dans l’espace des K ⃗ est appelé réseau réciproque. A( ⃗ K) = F(f)[ ⃗ K] × ∑ ⃗G∈RR δ( ⃗ K − ⃗ G) ⃗G est un vecteur de translation du réseau réciproque (RR) défini par la relation (2). Ceci traduit que dans l’espace des ⃗ K, l’intensité ne peut être non nulle que si ⃗ K est un M1PF-MAG2 2012-2013, Matière condensée (I)
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