Chap 1,2 et 3 (P. Mendels)

2.2 Niveaux d’énergie, densité d’états d’un gaz d’électrons libres 19
2.2.4 Un résumé
Electron de masse m et de spin 1/2 dans une boîte cubique de volume V ≡ L d .
L’électron est libre, i.e. il n’y a pas de potentiel externe, U(⃗r) = 0 à l’intérieur de la boîte,
U(⃗r) = +∞ à l’extérieur.
L’équation de Schrödinger a pour états stationnaires et énergies propres :
Ψ ⃗k (⃗r) = 1 √
V
e i⃗ k·⃗r ; ϵ ⃗k = 2 k 2
2m ; k = |⃗ k| (2.1)
Les vecteurs d’onde ⃗ k sont quantifiés (conditions aux bords périodiques) :
⃗ k =
2π
L n ou n ∈ Zd (2.2)
Un état stationnaire s’écrit | ⃗ k, s⟩ où s = ±/2 est la projection du spin.
La densité d’états correspondante (dégénérescence de spin incluse) est
g( ⃗ k) = 2 ↑↓
L d
(2π) d (2.3)
où α d est une constante qui dépend de la dimension d
g(ε) = α d ε d 2 −1 si ϵ > 0
= 0 si ε < 0 (2.4)
α d ≡ Ω d(2m) d/2 L d
(2π) d
et Ω d est l’angle solide en dimension d (respectivement 2, 2π et 4π en dimension d = 1, 2 et
3).
g 3D
( ) = A
g 2D
( ) = Cte
g 1D
( ) = B
1/2
-1/2
g( )
M1PF-MAG2 2012-2013, Matière condensée (I)