Chap 1,2 et 3 (P. Mendels)

3.3 Réseau réciproque 41
3.3 Réseau réciproque
3.3.1 Construction vectorielle
La base du réseau réciproque satisfait à la série d’équations (3) :
Un choix simple consiste à prendre :
⃗a α · ⃗a ⋆ β = 2π δ αβ , α, β = 1, 2, 3
⃗a ⋆ 1 = 2π ⃗a 2 ∧ ⃗a 3
(⃗a 1 ,⃗a 2 ,⃗a 3 ) = 2π
V ⃗a 2 ∧ ⃗a 3
et permutations circulaires sur les indices
(⃗a 1 ,⃗a 2 ,⃗a 3 ) désigne le produit mixte qui n’est autre que le volume de la maille du réseau
direct,
V = (⃗a 1 ,⃗a 2 ,⃗a 3 ) = ⃗a 1 · (⃗a 2 ∧ ⃗a 3 ), · · ·, idem par permutation circulaire.
Comme dans le cas du réseau direct, ce choix n’est pas unique !
La construction est évidente dans le cas des réseaux de Bravais où un des axes du réseau
⃗a 3 est orthogonal aux deux autres.
Les vecteurs ⃗a ⋆ 3 et ⃗a 3 sont colinéaires et les vecteurs ⃗a ⋆ 1 et ⃗a ⋆ 2 sont dans le plan (⃗a 1 , ⃗a 2 ).
La construction du réseau réciproque à l’aide des relations ci-dessus ne pose pas de difficulté
de principe mais peut s’avérer fastidieuse. Pour chaque type de réseau, il faut construire
les produits vectoriels et donc connaître les composantes des différents vecteurs dans une
base que l’on choisira, si possible orthonormée si on veut faire des calculs analytiques.
Les cas usuels de réseaux sont donnés plus loin.
Exemple de calcul pour un réseau 2D
Dans ce cas on utilise pour troisième vecteur de la base le vecteur ⃗a 3 .
⃗a 1 = 2 ⃗u x
⃗a 2 = ⃗u x + 2 ⃗u y
⃗A = ⃗a ⋆ 1 = π⃗u x − π 2 ⃗u y
⃗B = ⃗a ⋆ 2 = π⃗u y
⃗a ⋆ 1 = 2π ⃗a 2 ∧ ⃗a 3
(⃗a 1 ,⃗a 2 ,⃗a 3 ) = 2π
V ⃗a 2 ∧ ⃗a 3
et permutations circulaires sur les indices
M1PF-MAG2 2012-2013, Matière condensée (I)