ModÃ©lisation de sons bruitÃ©s par la Synth`ese Granulaire

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du signal analysé. En réalité, l’information de phase du spectre n’est pasvraiment primordiale dans notre cas s’attachant plus à détecter des formesspectrales associables à un jeu de paramètres. Nous avons donc choisi detravailler exclusivement sur le module du spectre |X(t, f)|. Nous supposeronsdonc que |X(t, f)| peut être décomposé selon :|X(t, f)| =K∑α k |G k (t, f)|k=1Il est important de voir que l’on travaille maintenant avec des matriceset non plus des vecteurs temporels. Pour simplifier les notations et la structurede la méthodes, nous avons fait en sorte de manipuler le module desspectrogrammes sous la forme de vecteurs X[p t,f ] :X[p t,f ] = |N∑w[n]x[t ∗ d + n]e 2jπf |n=0avec l’indicep t,f = tN + f/Feavec N taille de la TFCT et d pas d’avancement pour le calcul des TFCTréglant notamment leur recouvrement.Comme précedemment, on veux donc à chaque étape i de l’algorithmetrouver dans le dictionnaire D l’atome G m(i) qui, par projection du résidu R iminimise la norme-2 de R i+1 defini par :R i+1 = R i − α i G m(i)avec m(i) designant l’index de l’atome choisi dans le dictionnaire à l’étapei. L’algorithme commence avec R 1 = X. Le but est de trouver G m(i) selon :Par ailleurs :G m(i) = arg min Gm(i)∈D‖R i+1 ‖ 2〈R i+1 , G m(i) 〉 = 〈R i , G m(i) 〉 − α i 〈G m(i) , G m(i) 〉Par le théorème de la projection othogonale on a :〈R i+1 , G m(i) 〉 = 〈R i − α i G m(i) , G m(i) 〉 = 0D’où :α i = 〈R i, G m(i) 〉〈G m(i) , G m(i) 〉 = 〈R i, G m(i) 〉47
impliquant ainsi que la norme-2 des atomes ‖G k ‖ = 1. On peut alors endeduire la norme-2 du signal residuel ‖R i+1 ‖ :‖R i+1 ‖ 2 = ‖R i ‖ 2 − |α i | 2Minimiser ‖R i+1 ‖ 2 revient donc à maximiser |α i | 2 . On doit donc choisirà chaque itération i l’atome qui aura le plus grand coefficient de correlationα i = 〈R i , G m(i) 〉.estimation amplitude Une fois trouvés tous les coefficients α i correspondantà la décomposition, il s’agit d’en tirer les paramètres d’amplitudeapplicables à chacun des grains dans le domaine temporel. En effet, il n’y apas directe égalité entre correlation et amplitude de part la normalisation desatomes. Soit x = γg, on a alors le module du spectre X = γG. Le calcul dela correlation nous donne X = αG/‖G‖. On a alors γ = α/‖G‖. En d’autreterme, il faudra donc diviser la correlation par la norme de l’atome auquelelle correspond, pour en déduire le paramètre d’amplitude.construction du dictionnaire Nous avons donc la possbilité de décomposerle signal analysé sur un ensemble d’atomes arbitraires. Un des points importantsest de garder un lien étroit avec les paramètres de synthèse pourgénérer le dictionnaire. Une des idées sous-tendues par l’élaboration d’unetelle méthode était de pouvoir choisir un grain caractéristique dans le signalanalysé pour ensuite le transformer suivant les paramètres de synthèseusuels. Dans cette optique, plusieurs choix s’offrent à nous. Le premier estde travailler dans le domaine temporel pour générer les différents grains dudictionnaire. Nous avons notamment experimenté la transposition du graincaractéristique suivant une échelle de hauteurs spécifiques. Il est bon de remarquerque ce type de transformation va agir autant au niveau de la hauteurdu grain que sur sa durée corrélant ainsi fortement les deux paramètres desynthèses. Une des solutions pour contourner cela serait de pondérer le grainpar une fenêtre permettant de moduler sa durée mais sommes nous toujourslimités à la réduction de la longueur de départ du grain transposé. Une autreapproche est de travailler dans le domaine spectral pour la génération desatomes, en effectuant des transformations directement sur le spectre du graincaractéristique comme des translations, des mises à l’echelle,... Mais se poseici le problème de la resynthèse. En effet, le moteur de synthèse lit dansune table la forme d’onde des grains. Dans notre cas, elle correspond augrain caractéristique et il nous est impossible dans se schéma de synthétiserdes grains issus de transformations spectrales comme l’etirement temporelpar exemple. Ainsi, l’élaboration du dictionnaire soulève des problèmes non48
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