Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

3.3 Calcul dynamiqueLa première partie met en évidence les ondes qui précèdent l’arrivée du pantographe. Ladeuxième contient les oscillations libres de la caténaire dont la décroissance est déterminéepar son amortissement.D’après Poetsch et al. [65], il est de 1% sur le premier mode (environ 1 Hz). Pourdéterminer les coefficients α et β correspondants, projetons l’équation du mouvementMẌ + CẊ + KX = F,sur la bases des modes propres pour obtenirX T i MX i Ẍ+ X T i CX i Ẋ +X T i KX i X = X T i F¨q i +2ζ i ω i q˙i +ωi 2 X = Xi T F,où ζ i est l’amortissement modal de la caténaire. Par identification, et avec l’équation (3.8),on peut écrireX T i CX i = αX T i MX i + βX T i KX i = 2ζ i ω i ,ce qui équivaut à un amortissement modalζ i =α2ω i+ β 2 ω iEn première approximation, on considère α = 0 ou encoreβ = 2ζ iω i.Ainsi pour obtenir un amortissement de 1% à 1Hz, β vaut 0, 0033.La grande densité modale autour de 1Hz est probablement à l’origine du phénomène de battement: une réponse sur deux fréquences très proches est souvent à l’origine d’une modulationpar phénomène de battement.Ce phénomène n’est pas pris en compte pour déterminer l’amortissement du signal qui estassimilé à un signal mono-fréquentiel dont la réponse est donnée par :A(t) = A 0 e −2πf 0ζ 0 t cos(−2πf 0 t + φ 0 ).Pour suivre cette réponse, la fréquence principale est donnée par le nombre d’oscillationsentre deux maxima de la modulation, séparés de ∆t = t 2 − t 1 (cf. figure 3.26),92f 0 = N oscillations,∆t