értekezés - Szent István Egyetem

A mozgásegyenletet a
∂v
∂v
1 ∂p
λ v v
+ v + +
∂t
∂x
ρ ∂x
2 d
= 0
(29)
a kontinuitási egyenletet a
∂v
1 ⎡∂ρ
∂ρ ⎤
+ ⎢ + v ⎥ = 0
∂x
ρ ⎣ ∂t
∂x
⎦
, (30)
az energiaegyenletet pedig a
2
∂p
∂p
2 ⎡∂ρ
∂ρ
⎤ ⎡ λv v 4 ⎛ p ⎞⎤
+ v − a v ( κ 1)
⎢ρ
Tcső ⎟⎥
= 0
t x
⎢ +
⎜ −
t x
⎥ − − ⋅ − α ⋅
∂ ∂ ⎣ ∂ ∂ ⎦ ⎢ 2D
d R
⎣
⎝ ⋅ ρ ⎠⎥⎦
(31)
összefüggés írja le (SEIFERT 1962).
A képletekben szereplő κ izentropikus kitevő és az R gázállandó az állandó nyomáson (c p )
és az állandó térfogaton (c v ) értelmezett fajhőkből számítható, az a hangsebesség pedig a p
nyomásból és a ρ sűrűségből meghatározható (SCHREIER 1982) (ZOEBL, KRUSIK
1986) (SZLIVKA 1996).
cp
κ =
(32)
cv
R = c p − c v
(32a)
a = κ p
(33)
ρ
A három parciális differenciálegyenletből álló egyenletrendszer az ún. hiperbolikus típusú,
kvázilineáris parciális differenciálegyenletek osztályába tartozik, amely a karakterisztikák
módszerével oldható meg (SZABÓ 1985). A kvázilinearitás jellemzője, hogy a parciális
deriváltak együtthatói a keresett v, p, ρ változóknak is függvényei.
4.2.2.2 Az egyenletrendszer megoldása a karakterisztikák módszerével
Ludwig Prandtl és Adolf Busemann alkalmazták először a karakterisztikák módszerét
(1929-ben Németországban) különböző áramlások vizsgálatára. Korábbi írásomban
ismertettem a módszert (FÁBRY 2007). Megjegyzem, hogy az egyes fizikai folyamatokat
jellemző parciális differenciálegyenletek három típusát különböztetjük meg együtthatóik
alapján: hiperbolikus, elliptikus és parabolikus. Az, hogy egy adott áramlást leíró parciális
differenciálegyenlet melyik típusú attól függ, hogy stacionárius vagy instacionárius az
áramlás, és hogy a zavarások terjedési sebessége, a hangsebesség végtelen vagy véges. A
karakterisztikák módszerének alkalmazása olyan áramlások vizsgálatakor indokolt, amikor
az áramlást leíró parciális differenciálegyenletek hiperbolikusak (ANDERSON 1989).
Ideális (súrlódásmentes) kompresszibilis közeg stacionárius áramlása hangsebesség felett
hiperbolikus (TANNEHILL 1997), hangsebesség alatt elliptikus típusú, instacionárius
áramlása, mely az általam vizsgált eset, hiperbolikus típusú (FERZIGER, PERIC 2002).
A karakterisztika egy olyan terjedési pálya, amely mentén valamilyen tulajdonság, mint
például egy fizikai állapotváltozás terjed. A hullám tipikusan olyan jelenség, amelyben
fizikai tulajdonságok és energiák terjednek. A terjedés irányától függően
megkülönböztethetők pozitív, illetve negatív karakterisztikák. A karakterisztikák az x~t
72