Gnomonica n° 1 - Nicola Severino

Gnomonica, Storia, Arte e Tecniche degli Orologi Solari N° 1 Settembre 1998
PARTICOLARE APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FORMULE DELLE LINEE
D’OMBRA
Riccardo Anselmi, Saint Vincent (Aosta)
Mi riferisco alle comode formule proposte dall’Ammiraglio Fantoni a pagina 71 del suo trattato completo di
gnomonica dal titolo “Orologi Solari” e qui riportate, con le quali è possibile tracciare le linee dei solstizi ed altre linee
diurne, a differente declinazione, individuando, sulle rette orarie, i punti che le compongono come distanze dal
centro della meridiana:
Siano ε l’altezza dello stilo st, σ l’angolo sustilare, β l’angolo tra lo stilo st e la sua ombra (retta oraria
generica), α l’angolo con vertice G tra la
sustilare e la retta oraria generica, δ la
declinazione del sole, C il centro della
meridiana, G la punta di st, W
l’intersezione della linea oraria con il
solstizio invernale e S quella con il
solstizio estivo e EE la retta equinoziale,
le formule citate sono :
tg(β) = tg(ε) / cos(α)
CW = st * cos(δ) / cos(β-δ)
CS = st * cos(δ) / cos(β+δ)
CE = st / cos(β)
Le linee orarie sono tracciate,
sfruttando l’angolo ω o unendo il centro
della meridiana con precisi punti
dell’equinoziale o di altra retta, a
seconda del metodo scelto.
Nel caso in cui il quadrante solare presenti una declinazione prossima ai 90 gradi est o ovest il centro della
meridiana si allontana sempre più dal quadrante rendendo inutilizzabile il metodo, dato che lo stilo diventa
lunghissimo.
In tal caso bisogna tracciare le rette orarie per altra via. Se, per esempio, si è scelta la geometria analitica le
rette orarie sono rappresentate da equazioni di primo grado ed è quindi possibile trovare le intersezioni delle stesse
con rette a piacere come potrebbero essere i lati del quadrante. I punti che costituiscono le linee dei solstizi possono
essere individuati sulle rette orarie partendo dall’equinoziale, invece che dal centro della meridiana, dopo aver
modificato leggermente le formule precedenti.
Infatti, detta D la distanza di una linea solstiziale dall’equinoziale, misurata nel modo prima indicato, ne
consegue che :
D = st / cos(β)-st* cos(δ) / cos(β±δ)
Volendo utilizzare l’ortostilo è sufficiente modificare le formule ricordando che :
st = g / sin(ε) ;
si ha : D = g / sen(ε)*(1 / cos(β)- cos(δ) / cos(β±δ))
Infine come caso estremo si consideri un quadrante con declinazione di 90 gradi est o ovest, si osserva che
sia ε che β valgono zero.
Modificando opportunamente l’ultima formula proposta, esprimendo ε in funzione di β e facendo il limite per
β → 0 si ritrova, con l’applicazione del teorema di De l’Hopital, la formula D = g * tg(δ) / cos(α) con la quale è
possibile calcolare i punti delle linee diurne anche per i quadranti solari con declinazione di ± 90 gradi.
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