Gnomonica n° 1 - Nicola Severino

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<strong>Gnomonica</strong>, Storia, Arte e Tecniche degli Orologi Solari N° 1 Settembre 1998 PARTICOLARE APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FORMULE DELLE LINEE D’OMBRA Riccardo Anselmi, Saint Vincent (Aosta) Mi riferisco alle comode formule proposte dall’Ammiraglio Fantoni a pagina 71 del suo trattato completo di gnomonica dal titolo “Orologi Solari” e qui riportate, con le quali è possibile tracciare le linee dei solstizi ed altre linee diurne, a differente declinazione, individuando, sulle rette orarie, i punti che le compongono come distanze dal centro della meridiana: Siano ε l’altezza dello stilo st, σ l’angolo sustilare, β l’angolo tra lo stilo st e la sua ombra (retta oraria generica), α l’angolo con vertice G tra la sustilare e la retta oraria generica, δ la declinazione del sole, C il centro della meridiana, G la punta di st, W l’intersezione della linea oraria con il solstizio invernale e S quella con il solstizio estivo e EE la retta equinoziale, le formule citate sono : tg(β) = tg(ε) / cos(α) CW = st * cos(δ) / cos(β-δ) CS = st * cos(δ) / cos(β+δ) CE = st / cos(β) Le linee orarie sono tracciate, sfruttando l’angolo ω o unendo il centro della meridiana con precisi punti dell’equinoziale o di altra retta, a seconda del metodo scelto. Nel caso in cui il quadrante solare presenti una declinazione prossima ai 90 gradi est o ovest il centro della meridiana si allontana sempre più dal quadrante rendendo inutilizzabile il metodo, dato che lo stilo diventa lunghissimo. In tal caso bisogna tracciare le rette orarie per altra via. Se, per esempio, si è scelta la geometria analitica le rette orarie sono rappresentate da equazioni di primo grado ed è quindi possibile trovare le intersezioni delle stesse con rette a piacere come potrebbero essere i lati del quadrante. I punti che costituiscono le linee dei solstizi possono essere individuati sulle rette orarie partendo dall’equinoziale, invece che dal centro della meridiana, dopo aver modificato leggermente le formule precedenti. Infatti, detta D la distanza di una linea solstiziale dall’equinoziale, misurata nel modo prima indicato, ne consegue che : D = st / cos(β)-st* cos(δ) / cos(β±δ) Volendo utilizzare l’ortostilo è sufficiente modificare le formule ricordando che : st = g / sin(ε) ; si ha : D = g / sen(ε)*(1 / cos(β)- cos(δ) / cos(β±δ)) Infine come caso estremo si consideri un quadrante con declinazione di 90 gradi est o ovest, si osserva che sia ε che β valgono zero. Modificando opportunamente l’ultima formula proposta, esprimendo ε in funzione di β e facendo il limite per β → 0 si ritrova, con l’applicazione del teorema di De l’Hopital, la formula D = g * tg(δ) / cos(α) con la quale è possibile calcolare i punti delle linee diurne anche per i quadranti solari con declinazione di ± 90 gradi. Pag. 46
<strong>Gnomonica</strong>, Storia, Arte e Tecniche degli Orologi Solari N° 1 Settembre 1998 La Vignetta Pag. 47 di Giacomo Agnelli
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