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14 MARIO VULTAGGIO In un triangolo sferico il prodotto del seno di un angolo(A) per il coseno di un lato adiacente (b) è dato dal prodotto del coseno dell’angolo(B) per il seno del terzo angolo (C) più il seno del secondo angolo(B) per il coseno del terzo (C) per il seno del lato (a) opposto al primo angolo(A). (v. figura 1.7) Figura 1.7 – Triangolo sferico: schema di calcolo 1.3.2 - Relazioni di seconda specie. Formule di Vieta Le relazioni di Vieta sono note come formule dei quattro elementi consecutivi; si ricavano direttamente operando il rapporto fra una relazione dei seni ed una relazione del teorema delle proiezioni: Operando il rapporto si ottiene: Ovvero sin bsin C = sin csin B sin b cosC = cosc sin a − sin c cos a cos B Si può enunciare la seguente regola: sin csin B tan C = cosc sin a − sin c cos a cos B cot csina − cosa cos B cot C = sinB cot csina = cosa cos B + sinBcot C (1.23) In un triangolo sferico la cotangente di un primo lato (c) per il seno di un secondo lato (a) è uguale al prodotto del coseno di questo secon-
15 CAPITOLO 1 – I SISTEMI DI RIFERIMENTO do lato (a)per il coseno dell’angolo compreso(B) più il prodotto del seno di quest’ultimo angolo per la cotangente dell’angolo adiacente(C). (v. figura 1.8) Figura 1.8 – Triangolo sferico: schema di calcolo Dalla relazione di Vieta trovata, per rotazione, si possono facilmente ricavare tutte le altre relazioni: cot csinb = cosb cos A + sinAcot C cot asinb = cosb cos B + sinBcot A cot asinc = cosc cos B + sinB cot A cotbsina = cosa cosC + sinC cot B cotbsinc = cosc cos A + sinAcot B 1.3.3 - Relazioni di seconda specie. ⎛a ⎞ ⎛A ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ b⎟ , ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ c ⎠ ⎝C ⎞ ⎟ B⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (1.24) L’espressione trigonometria relativa al teorema delle proiezioni può essere facilmente trovata per mezzo di una qualunque relazioni dei quattro elementi consecutivi. Infatti prendendo la prima delle (1.24) e moltiplicandola per sin c si ha: cos csin b = cosb cos Asin c + sin csin Acot C Ma per il teorema dei seni, essendo: sin c sin a = sin C sin A , sin csin A = sin asin C
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