Cap.1

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CAPITOLO 1 – I SISTEMI DI RIFERIMENTO
x cos
( V − O)
=
y sin
⎡
⎢
⎣
⎤ ⎡ α⎤
⎥ = ⎢ ⎥
⎦ ⎣ α ⎦
(1.1)
Ruotando il sistema di riferimento attorno all’asse z nel senso orario
dell’angolo θ si ottiene:
x'= cos( α + θ) = cosα cosθ
− sinαsinθ y' = sin( α + θ) = sinαcosθ + cosαsinθ
(1.2)
che possono essere scritte in forma matriciale:
⎡x'⎤
⎡x
cosθ
-y
sinθ
⎤ cosθ
V − O = ⎢
=
y'
⎥ = ⎢
xsin
y cos
⎥
⎣ ⎦ ⎣ θ + θ ⎦ sinθ
-sinθ
x
⋅
cosθ
y
(1.3)
Considerando il versore (V-O) riferito al sistema tridimensionale,
l’espressione precedente assume la forma più generale:
x'
cosθ
− sinθ
V − O = y'
= sinθ
cosθ
z'
0 0
0
0
1
x
y = M V
z
(1.4)
con M matrice di rotazione e V versore (V-O).
Inoltre si fa osservare che una rotazione di segno contrario (-θ) permette
di ritrovare il versore di partenza:
x cos( −θ
) − sin( −θ
) 0 x' cosθ
sinθ
0 x'
V − O = y = sin( −θ
) cos( −θ
) 0 y' = − sinθ
cosθ
0 y' = B V
z 0 0 1 z' 0 0 1 z'
con B=M T matrice trasposta di M. Si ricava facilmente che il prodotto
MM T =I con I matrice unitaria.
Passiamo, ora alla generalizzazione e definizione della matrice di rotazione
rispetto ad un asse generico di rotazione, dato che il caso considerato
può essere visto come caso particolare dell’asse di rotazione coincidente
con uno degli assi di riferimento. Sia U, il versore dell’asse di rotazione
di componenti ( u , u , u )
T
1 2 3 rispetto ad un generico sistema di riferimento.
Per una rotazione dell’angolo θ , dalla figura 1.3 si ricava la
seguente espressione vettoriale: