Cap.1

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CAPITOLO 1 – I SISTEMI DI RIFERIMENTO
con θ angolo di rotazione. La sostituzione di ON e NX permette di esprimere
la relazione precedente nel seguente modo:
V' = ( U• VU ) + ( V− ( U• VU ) )cos θ + ( U× Vsin ) θ
e tenendo presente le seguenti notazioni matriciali:
u1
x
2
u1u1u2 u1u3 x
T
( U • V) U = ( UU ) V = u1 u2 u3
u2
y = uu 1 2
2
u2 uu 2 3 y = PV
u z uu uu
2
u z
3
1 3 2 3 3
i j k u2
z − u3
y 0 − u3
u2
x
U × V = u1
u2
u3
= u3x
− u1z
= u3
0 − u1
y = QV
x y z u y − u x − u u 0 z
1
2
con P e Q matrice simmetrica ed asimmetrica; dopo queste proprietà
l’espressione di V’ diventa:
[ P + ( I − P)
cosθ
+ Qsin
] V MV
V ' = θ =
(1.7)
con M matrice di rotazione, i cui elementi sono dati dalla seguente espressione:
2
2
u1
+ ( 1−
u1
) cosθ
u1u2
( 1−
cosθ
) − u3
sinθ
u1u3(
1−
cosθ
) + u2
sinθ
M = u1u2
( 1−
cosθ
) + u3
sinθ
2
2
u2
+ ( 1−
u2
) cosθ
u2u3(
1−
cosθ
) − u1
sinθ
u u ( 1−
cosθ
) − u sinθ
u u ( 1−
cosθ
) + u sinθ
2
2
u + ( 1−
u ) cosθ
1
3
2
2
3
(1.8)
Un'importante proprietà della matrice M si ottiene associando a V e V’
alternativamente i versori degli assi di riferimento:
i ' = Mi , j'
= Mj , k'=
Mk
inoltre, per la proprietà precedentemente trovata, il versore V sarà dato
dal prodotto matriciale M T V’ con M T matrice trasposta di M:
2
1
1
3
3