Cap.1

C y
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CAPITOLO 1 – I SISTEMI DI RIFERIMENTO
x − sina cos Bˆ
x'
cosc
0 − sinc sinb cos Aˆ
= y = sinasinBˆ
= A ( c)
y'
= 0 1 0 sinbsinAˆ
z cos a
z'
sinc 0 cosc
cosb
)
− sin a cos B sin bcosc
cos Aˆ
− sin c cosb
)
C sin asin
B = sin bsin
Aˆ
(1.13)
cos a cosb
cosc
+ sin bsin
c cos Aˆ
Dall’uguaglianza degli elementi dei due vettori dati dalla (1.13) si ottengono
le tre relazioni fondamentale della trigonometria sferica note come
relazioni di Gauss:
)
cos a = cosb
cosc
+ sin bsin
c cos A
sin a sin b
) = )
,
sin A sin B
)
sin a cos B = cosb
sin c − sin b cosc
cos A
,
,
formula di Eulero
teorema
dei seni
teorema
delle proiezioni
Allo stesso risultato si arriva utilizzando alcune proprietà dell'analisi vettoriale.
Siano l, m, n, i versori che definiscono i vertici A, B, C del triangolo
sferico dal centro O (v. figura. 1.4); il prodotto vettoriale l x m è un
vettore di modulo sinc e perpendicolare al piano AOB; allo stesso modo,
il prodotto vettoriale l x n è un vettore di modulo sinb e perpendicolare
al piano AOC. L’angolo fra i due vettori è dato dall’intersezione dei citati
piani ( Â ). Considerando il prodotto scalare dei due vettori calcolati si
ha:
( lxm)
⋅ ( lxn)
= sincsinbcos
Aˆ
= l ⋅
[ mx(
lxn)
] = l ⋅[
l(
m ⋅ n)
− n(
l ⋅ m)
]
= (m ⋅ n) - (l ⋅ n)(l⋅
m) = cosa - cosbcosc
da cui si ricava l’equazione fondamentale dell’Astronomia sferica (I
formula di Eulero):
cos a = cosb
cosc
+ sin bsin
cos Aˆ
(1.14)
Seguendo lo stesso procedimento si ottengono per rotazione le altre due
relazioni: