Álgebra I - Departamento de Matemática

10 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
diferença que nos resta é a da generalidade com que os problemas algébricos
são hoje enunciados e estudados.
Mesmo esta tendência para a generalização do âmbito da Álgebra sempre
esteve presente no passado. Inicialmente, reflectiu-se apenas nas sucessivas
generalizações do conceito de número (de natural, para racional positivo,
para mais recentemente incluir números negativos, complexos e irracionais).
No século XIX, reconheceu-se que muitas das ideias ditas “algébricas” se
aplicavam igualmente a objectos que não são números, como por exemplo
vectores, matrizes e transformações.
À lenta expansão do domínio da Álgebra sucedeu-se uma brusca explosão,
quando se compreendeu que é possível estudar propriedades de qualquer
operação algébrica sem especificar a natureza dos objectos sobre os quais
essa operação actua, nem descrever como o resultado da operação deve ser
calculado. Na realidade, este estudo faz-se simplesmente postulando (i.e., tomando
como hipótese) um determinado conjunto de propriedades algébricas
básicas que a operação é suposta verificar, como por exemplo a comutatividade
e a associatividade. A Álgebra tornou-se finalmente axiomática (se
bem que com um atraso de mais de 2000 anos em relação à Geometria). Esta
foi a inovação mais significativa introduzida no século passado, e justifica o
uso do nome “ Álgebra Geral”, quando nos referimos à Álgebra dos nossos
dias.
A axiomatização da Álgebra exigiu antes do mais a definição de estruturas
algébricas abstractas. No caso mais simples, uma estrutura algébrica
abstracta é formada por um conjunto não-vazio X, dito o suporte da estrutura,
e uma operação binária em X, que não é mais do que uma função
µ : X × X → X. Diferentes conjuntos de suposições, ou axiomas, exigidos
a esta operação, conduzem à definição de diferentes estruturas algébricas
abstractas. Estas definições não incluem qualquer hipótese sobre a natureza
dos elementos do conjunto X, nem sobre os procedimentos a seguir para
calcular os valores da função µ.
Certas convenções simples são universalmente seguidas. Se µ : X × X →
X for uma operação binária em X, é comum escolher um símbolo como por
exemplo “+” ou “∗” para a representar, escrevendo “x + y” ou “x ∗ y” em
vez de “µ(x, y)”. Frequentemente indicamos a operação por simples justaposição,
i.e., escrevemos “xy” em vez de “µ(x, y)”. A utilização de notações
como “x + y” e “xy” não significa de modo algum que os símbolos designem
as usuais operações sobre números. A este respeito, a única convenção geralmente
aceite é que o símbolo “+” só é utilizado para designar operações
comutativas, i.e., operações tais que µ(x, y) = µ(y, x). Para simplificar a
nossa terminologia, sempre que lidarmos com uma operação comutativa representada
pelo símbolo “+” diremos que usamos notação aditiva. Em todos
os outros casos, a notação diz-se multiplicativa. Usamos sistematicamente