Álgebra I - Departamento de Matemática

6 Prefácio
tica em termos de pares ordenados; os grupos e os anéis foram introduzidos,
estudados e investigados, muito antes de terem sido conceptualizados; as
semelhanças de construções entre as várias estruturas algébricas foram notadas
e utilizadas, muito antes de o conceito abstracto de categoria ter sido
descoberto.
Este livro nasceu de notas compiladas pelos autores durante a leccionação
das disciplinas de Álgebra I e II da Licenciatura em Matemática Aplicada
e Computação, do Instituto Superior Técnico (IST). O material aqui exposto
inclui todos os tópicos cobertos por essas disciplinas e ainda alguns
tópicos adicionais que, principalmente por limitações de tempo, não eram
normalmente cobertos. A escolha de tópicos pretende ser representativa, de
forma a constituir o essencial de uma formação básica em Álgebra. Para
além disso, dentro dos princípios acima enunciados, pretendemos estabelecer
pontes com outras áreas da Matemática. É frequente um capítulo incluir
uma secção de “aplicações”, que pressupõe conhecimentos de outras áreas
da Matemática por parte do leitor. Como já referimos acima, os autores não
vêem o estudo da Álgebra de forma independente do estudo das outras áreas
da Matemática, e estas secções, embora não prejudicando a dependência
lógica entre os capítulos, devem ser entendidas como parte integrante do
texto, em vez de meras curiosidades. Nunca é de mais referir que os exercícios
propostos são igualmente parte integrante do texto. Na Matemática,
como em tudo, aprende-se experimentando e enfrentando problemas. Por
isso mesmo, as demonstrações de alguns dos resultados enunciados no texto
são propostas como exercício.
Existem certamente outras possibilidades de ordenação da matéria para
além da sugerida pela sequência dos vários capítulos. Um exemplo de programa
alternativo possível para um curso de três semestres é o seguinte:
• Semestre 1: noções elementares (Capítulo 1), inteiros (Capítulo 2),
aritmética mod p e anéis de polinómios (Capítulo 3, excepto duas
últimas secções), quocientes e isomorfismo (primeiras 5 secções do
Capítulo 4);
• Semestre 2: grupos finitos e sua estrutura (Capítulo 5) e Teoria de
Galois (Capítulo 7);
• Semestre 3: módulos (Capítulo 6 e duas últimas secções do Capítulo
3 e do Capítulo 4) e Álgebra Comutativa (Capítulo 8);
Deve notar-se que o livro assume conhecimentos elementares de Álgebra
Linear.
Os autores gostavam, em primeiro lugar, de agradecer a todos os alunos
que ao longo de mais de dez anos utilizaram as notas que deram origem a
este livro. A interacção com estes alunos, o que aprendemos com eles, foi
o principal motor de aperfeiçoamento das notas que deram origem a este