Álgebra I - Departamento de Matemática

12 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
usa-se em notação aditiva, e o termo “identidade” (e possivelmente o símbolo
“1”, ou “I”) usa-se em notação multiplicativa.
Quando a operação ∗ tem identidade e, é possível introduzir a noção de
elementos inversos. A definição é a seguinte:
Definição 1.1.3. O elemento x ∈ X diz-se invertível se e só se existe
y ∈ X tal que
x ∗ y = y ∗ x = e.
Neste caso, y diz-se inverso de x.
Mais uma vez, por uma questão de familiaridade, quando usamos notação
aditiva, os inversos dizem-se simétricos. Note que y é inverso de x se e só
se x é inverso de y, i.e., a relação “é inverso de” é simétrica. Quando temos
apenas x ∗ y = e, dizemos que y é inverso de x à direita, e x é inverso de
y à esquerda.
É claro que y é inverso de x se e só se y é inverso à direita
e à esquerda de x. No entanto, um inverso à direita não é necessariamente
inverso à esquerda. Apesar disso, e se a operação ∗ é associativa, podemos
ainda provar o seguinte resultado.
Proposição 1.1.4. Seja ∗ uma operação associativa em X. Se x ∈ X tem
inverso à direita y, e inverso à esquerda z, então y = z e x é invertível.
Demonstração. Supomos que y, z ∈ A são tais que x ∗ y = z ∗ x = e. Temos
então
x ∗ y = e ⇒ z ∗ (x ∗ y) = z (porque z ∗ e = z),
⇒ (z ∗ x) ∗ y = z (porque a operação é associativa),
⇒ e ∗ y = z (porque z ∗ x = e),
⇒ y = z (porque e ∗ y = y).
A utilidade de resultados como o anterior é o de serem aplicáveis a qualquer
estrutura algébrica concreta que satisfaça as hipóteses que utilizámos
(existência de identidade, e associatividade da operação). Essas hipóteses
são precisamente as usadas na definição da estrutura algébrica que agora
introduzimos:
Definição 1.1.5. A estrutura algébrica (X, ∗) diz-se um monóide se satisfaz
as seguintes propriedades:
(i) A operação ∗ tem identidade e em X.
(ii) A operação é associativa, i.e., (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), para quaisquer
x, y, z ∈ X.