Álgebra I - Departamento de Matemática

36 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
3. No anel Mn(R), os elementos invertíveis são as matrizes não-singulares, que
sabemos serem as matrizes com determinante = 0.
Em geral, num anel arbitrário A com identidade 1 = 0, podemos apenas
dizer que 1 e −1 são invertíveis, porque 1 · 1 = (−1) · (−1) = 1, o que é
precisamente o caso do anel Z. No outro extremo, existem anéis como Q, R
e C, onde todos os elementos não-nulos são invertíveis. Existem igualmente
casos intermédios como o do anel Mn(A) (A um anel), onde a determinação
dos elementos invertíveis pode ser bastante complicada.
Enunciamos em seguida algumas propriedades elementares de anéis que
envolvem as duas operações do anel, e que por isso não são consequências
directas de resultados provados anteriormente. A primeira propriedade, por
exemplo, mostra que o zero de qualquer anel não é invertível (a divisão por
zero é sempre impossível), excepto no caso trivial do anel A = {0}.
Proposição 1.5.6. Para quaisquer a, b ∈ A, temos:
(i) Produto por zero: a0 = 0a = 0.
(ii) Regras dos sinais: −(ab) = (−a)b = a(−b), e (−a)(−b) = ab.
Demonstração. As demonstrações destes resultados não oferecem dificuldades
especiais. Provamos a título de exemplo apenas a regra do produto por
zero, deixando a demonstração das restantes afirmações como exercício.
Para mostrar que a0 = 0 notamos que
a0 + a0 = a(0 + 0) (propriedade distributiva),
= a0 (porque 0 é elemento neutro),
⇒ a0 = 0 (pela lei do corte).
Uma parte das diferenças mais óbvias entre os diversos anéis que já
referimos prendem-se claramente com propriedades do produto, e têm a ver
não só com a invertibilidade dos respectivos elementos como igualmente com
a possível aplicação da “lei do corte” ao produto, formalmente definida como
se segue:
Definição 1.5.7. O anel A verifica a lei do corte para o produto se
∀a, b, c ∈ A, [c = 0 e (ac = bc ou ca = cb)] ⇒ a = b.
A restrição c = 0 (que não tem correspondente na lei do corte para a
soma) é evidentemente inevitável devido à regra do produto por zero. Para
mostrar que a lei do corte para o produto não é válida em todos os anéis, e