Álgebra I - Departamento de Matemática

44 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
No caso do homomorfismo φ : Z → Z2 dado por φ(n) = 0, se n é par, e
φ(n) = 1, se n é ímpar, o respectivo núcleo é o conjunto dos inteiros pares.
Como φ(0) = 0 e φ(1) = 1, temos
φ(x) = 0 ⇔ x = 2n, com n ∈ Z,
φ(x) = 1 ⇔ x = 1 + 2n, com n ∈ Z.
Dado um homomorfismo φ : A → B, sabemos que N(φ) e φ(A) são
subgrupos dos grupos aditivos (A, +) e (B, +). Podemos verificar facilmente
que neste caso esses subgrupos são na realidade subanéis.
Proposição 1.6.6. Se φ : A → B é um homomorfismo, então N(φ) é um
subanel de A, e φ(A) é um subanel de B. Em particular, se φ é injectivo,
então A é isomorfo a φ(A).
Demonstração. Temos apenas a provar que N(φ) e φ(A) são fechados em
relação aos respectivos produtos.
Se b1, b2 ∈ φ(A), existem a1, a2 ∈ A tais que b1 = φ(a1) e b2 = φ(a2). É
portanto óbvio que
b1b2 = φ(a1)φ(a2) = φ(a1a2) ∈ φ(A),
e φ(A) é fechado em relação ao produto de B, logo é um subanel de B.
Se a1, a2 ∈ N(φ), temos φ(a1) = φ(a2) = 0. Concluímos que
φ(a1a2) = φ(a1)φ(a2) = 0 · 0 = 0,
donde a1a2 ∈ N(φ), e N(φ) é fechado em relação ao produto de A, logo é
um subanel de A.
Finalmente, é evidente que, se φ é injectivo, então φ é um isomorfismo
entre A e φ(A).
Exemplos 1.6.7.
1. Considere-se mais uma vez o homomorfismo φ : C → M2 definido por
φ(x + iy) =
x −y
y x
Do teorema, concluímos que o conjunto das matrizes da forma
x −y
y x
.
é um subanel de M2(R), isomorfo ao corpo dos complexos.
2. No caso do homomorfismo φ : R → M2 dado por
φ(x) =
x 0
0 0
,