Álgebra I - Departamento de Matemática

18 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
Naturalmente que a noção de produto directo ou soma directa de grupos
se aplica sem modificações significativas a um número arbitrário mas finito
de grupos 6 . Por exemplo, se G, H, e K são grupos, o produto directo
G × H × K pode ser definido por G × H × K = (G × H) × K. Mais
geralmente, dados grupos G1, G2, · · · , Gn, temos:
1
Gk = G1, e
k=1
Exemplos 1.2.7.
n
Gk =
k=1
n−1
k=1
Gk
× Gn.
1. Considere-se o grupo (Z, +). Podemos fazer a soma directa deste grupo com
ele próprio um número arbitrário mas finito de vezes, e o grupo resultante
designa-se usualmente por
n
Z.
k=1
Este grupo, que como veremos no Capítulo 4 é o chamado grupo abeliano livre
em n símbolos, é bem entendido um subgrupo do grupo (R n , +).
Exercícios.
1. Prove que os conjuntos G = {0, 1} e H = {1, −1} com as operações dadas
pelas tabuadas seguintes são grupos. 7
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
2. Repita a questão anterior para os conjuntos G = {0, 1, 2} e H = {1, x, x 2 },
com as operações dadas pelas tabuadas. 8
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 1 x x 2
1 1 x x 2
x x x 2 1
x 2 x 2 1 x
3. Conclua a demonstração da Proposição 1.2.4 (iii).
4. Verifique que a lei do corte não é em geral válida em monóides.
6 Uma outra distinção entre soma e produto directo será explicitada mais tarde, quando
considerarmos o caso da soma ou produto directos de uma família infinita de grupos.
7 O grupo da esquerda designa-se usualmente por (Z2, +), por razões que esclareceremos
mais adiante. O grupo da direita é formado pelas raízes quadradas da unidade.
8 O grupo da esquerda designa-se por (Z3, +). O grupo da direita é formado pelas raízes
cúbicas da unidade. Podemos por exemplo supor que x é o número complexo e 2π 3 i .