Álgebra I - Departamento de Matemática

30 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
A título de exemplo, o problema da classificação para os grupos finitos
simples (uma classe muito importante de grupos que estudaremos mais adiante
no Capítulo 5) foi resolvido muito recentemente, no que foi seguramente
um dos resultados mais importantes da Matemática do século XX. Apresentaremos
neste texto a resolução de alguns problemas de classificação, de
complexidade crescente. Começamos por discutir um exemplo trivial, apenas
para substanciar as ideias expostas: a classificação dos monóides com
exactamente dois elementos.
Se (X, ∗) é um monóide com dois elementos, temos X = {I, a}, onde I
designa a identidade, e I = a. Note-se que os produtos I ∗I, I ∗a e a∗I estão
determinados pelo facto de I ser a identidade (I ∗ I = I, I ∗ a = a ∗ I = a).
Resta-nos calcular o produto a∗a, que só pode verificar a∗a = a ou a∗a = I
(no segundo caso, a seria invertível, e portanto o monóide seria um grupo).
As tabuadas seguintes descrevem estas duas possibilidades:
I a
I I a
a a I
I a
I I a
a a a
Para verificar que ambos os casos são possíveis, considerem-se os conjuntos
M = {0, 1}, e G = {1, −1}, sendo a operação correspondente em ambos
os casos o produto usual. É evidente que o produto é uma operação binária,
associativa, e com identidade, em qualquer um destes conjuntos. Portanto,
cada um destes conjuntos, com o produto usual, é um monóide com dois
elementos. Note-se também, inspeccionando as diagonais principais das respectivas
tabuadas, que estes monóides não são isomorfos.
1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
1 0
1 1 0
0 0 0
É claro que qualquer uma das duas primeiras tabuadas representa um
monóide isomorfo a um destes monóides. Na realidade, se a ∗ a = I, o
isomorfismo é a função φ : X → G dado por φ(I) = 1 e φ(a) = −1, e se
a∗a = a, o isomorfismo é a função φ : X → M dada por φ(I) = 1 e φ(a) = 0.
Resumimos estas observações como se segue:
• G e M são monóides com dois elementos,
• G e M não são isomorfos entre si, e
• Se X é um qualquer monóide com dois elementos, temos X G ou
X M.
Dizemos por isso que, “a menos de isomorfismo”, existem exactamente dois
monóides com dois elementos, e a classificação dos monóides com dois