Álgebra I - Departamento de Matemática

50 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
Demonstração. Antes de mais observamos que o produto (q, r) → qr definido
por (1.7.4) coincide com o produto por escalares se q ∈ R, e ainda que
é uma aplicação R-bilinear: dados a1, a2 ∈ R, q, q 1, q 2 ∈ R 4 e r1, r2, r ∈ R 4
temos
(a1q 1 + a2q 2)r = a1(q 1r) + a2(q 2r), q(a1r1 + a2r2) = a1(qr1) + a2(qr2).
Verificamos também que, com a notação i, j e k para a base canónica de
R 3 , são válidas as identidades (1.7.1), (1.7.2), e (1.7.3).
Para obter a associatividade da operação usamos agora a bilinearidade
e as identidades (1.7.1), (1.7.2), e (1.7.3), para calcular os produtos
e
(a0 + a1i + a2j + a3k) ((b0 + b1i + b2j + b3k)(c0 + c1i + c2j + c3k)) ,
((a0 + a1i + a2j + a3k)(b0 + b1i + b2j + b3k)) (c0 + c1i + c2j + c3k),
e verificar assim que coincidem.
Finalmente, é claro que
q1 = 1q = q,
e deixamos como exercício verificar que para todo o quaternião q = (a, b, c, d)
não-nulo são válidas as identidades:
(1.7.5) qq ′ = q ′ q = 1, onde q ′ =
a − bi − cj − dk
a2 + b2 + c2 .
+ d2 É ainda interessante constatar que os quaterniões formam um anel isomorfo
a um subanel do anel M4(R) das matrizes 4 × 4 com entradas reais, o
que fornece uma realização concreta deste anel de divisão, e outra demons-
tração do Teorema 1.7.1. Para isso considerem-se as matrizes 2 × 2:
M =
1 0
0 1
, N =
0 −1
1 0
, 0 =
0 0
0 0
que permitem definir a transformação linear ρ : R4 → M4(R) através de
ρ(1)
ρ(i)
ρ(j)
ρ(k)
=
=
=
=
M 0
,
0 M
N 0
,
0 −N
0 M
,
−M 0
0 N
N 0
,