Álgebra I - Departamento de Matemática

22 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
inversa de uma transposição é a mesma transposição. No exemplo acima, α,
β, e γ são iguais às respectivas inversas, e ε e δ são inversas uma da outra.
Dois ciclos dizem-se disjuntos se as suas órbitas de comprimento maior do
que 1 são disjuntas. Quaisquer ciclos disjuntos π e ρ comutam, i.e., πρ = ρπ,
e qualquer permutação é um produto de ciclos disjuntos (um ciclo por cada
uma das suas órbitas de comprimento maior do que 1). Mais precisamente,
temos em Sn o seguinte resultado sobre factorização, que de certo modo é
análogo ao Teorema Fundamental da Aritmética 9 :
Proposição 1.3.4. Qualquer permutação π em Sn é um produto de ciclos
disjuntos. Esta factorização é única a menos da ordem dos factores.
Observe-se que, em geral, temos
(x1, x2, . . . , xm) = (x1, xm) . . . (x1, x3)(x1, x2)
logo é possível factorizar permutações de Sn usando como factores apenas
ciclos de comprimento 2 (naturalmente, desde que n ≥ 2). Neste caso, no
entanto, os factores não são únicos e a sua ordem é relevante, porque se
torna indispensável usar transposições que não são disjuntas.
Exemplos 1.3.5.
1. No caso da permutação π de S4 acima, temos
1
2
2
1
3
4
4 1
=
3 2
2
1
3
3
4 1
4 1
2
2
3
4
4
3
i.e., podemos escrever esta permutação na forma π = (1, 2)(3, 4) = (3, 4)(1, 2).
2. Da mesma forma, o ciclo (1, 2, 4, 3) pode ser escrito como um produto de
transposições:
(1, 2, 4, 3) = (1, 3)(1, 4)(1, 2).
Observe-se que este ciclo também admite, por exemplo, as factorizações
(1, 2, 4, 3) = (2, 1)(2, 3)(2, 4) = (1, 3)(1, 4)(1, 2)(2, 4)(1, 3)(2, 4)(1, 3).
O exemplo anterior mostra que, na factorização de uma permutação
como um produto de transposições, estas não são unicamente determinadas.
Note-se também que o número de transposições utilizadas não é único.
Apesar desta falta de unicidade, é possível provar que o número de factores
necessários tem paridade fixa, i.e., é sempre par ou sempre ímpar. Para este
fim, sendo π uma permutação com órbitas O1, O2, . . . , OL, com comprimentos
n1, n2, . . . , nl, definimos P (π) = L
i=1 (ni − 1), e provamos:
9 “Qualquer natural n ≥ 2 é um produto de números primos, que são únicos a menos
da ordem dos factores” (ver Capítulo 2).
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