Álgebra I - Departamento de Matemática

14 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
1. Seja X = {x, y} um conjunto com dois elementos. Quantas operações
binárias existem em X? Quantas dessas operações são (i) comutativas, (ii)
associativas, (iii) têm identidade?
2. Quantas operações binárias existem num conjunto com 10 elementos?
3. Em (Z, −) existe identidade? Existem inversos? A operação é associativa?
4. Seja R R o conjunto de funções referido no exemplo 1.1.7.2, e suponha que
f ∈ R R .
(a) Mostre que existe g ∈ R R tal que f ◦ g = I se e só se f é sobrejectiva.
(b) Mostre que existe g ∈ R R tal que g ◦ f = I se e só se f é injectiva.
(c) Se f ◦ g = f ◦ h = I, é sempre verdade que g = h?
5. Prove a Proposição 1.1.8.
6. Seja ∗ uma operação binária em X, e x, y ∈ X. Se n ∈ N é um número
natural, definimos a potência x n por indução como se segue: x 1 = x e, para
n ≥ 1, x n+1 = x n ∗ x. Suponha que ∗ é associativa, e prove:
(a) x n ∗ x m = x n+m , e (x n ) m = x nm , para quaisquer n, m ∈ N.
(b) x n ∗ y n = (x ∗ y) n , para qualquer n ∈ N se x ∗ y = y ∗ x.
Como se podem exprimir estes resultados em notação aditiva?
7. Suponha que (X, ∗) é um monóide com identidade e, e x ∈ X é invertível.
Neste caso, definimos para n ∈ N qualquer, x −n = (x −1 ) n , x 0 = e. Prove que
as identidades do problema anterior são válidas para quaisquer n, m ∈ Z.
1.2 Grupos
Os exemplos discutidos na secção anterior mostram que num monóide arbitrário
nem todos os elementos são necessariamente invertíveis. Os monóides
em que todos os elementos são invertíveis correspondem à estrutura
abstracta mais central da Álgebra.
Definição 1.2.1. O monóide (G, ∗) diz-se um grupo se e só se todos os
elementos de G são invertíveis. O grupo diz-se abeliano se a sua operação
é comutativa.
Os seguintes exemplos dão uma ideia por pálida que seja da generalidade
deste conceito.
Exemplos 1.2.2.
1. (R, +) é um grupo abeliano.