Álgebra I - Departamento de Matemática

32 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
(d) (A, ∗) é um grupo se e só se (B, ·) é um grupo.
6. Continuando o exercício anterior, suponha agora apenas que φ é um homomorfismo
injectivo (respectivamente, sobrejectivo). Quais das afirmações
anteriores são ainda válidas em cada um destes casos?
7. Seja G um grupo, e Aut(G) o conjunto dos automorfismos φ : G → G.
(a) Prove que Aut(G) com a operação de composição é um grupo.
(b) Determine Aut(G) quando G é o grupo formado pelas soluções complexas
de x 4 = 1.
8. Seja G um grupo qualquer.
(a) Sendo g ∈ G fixo, mostre que φg : G → G dada por φg(x) = gxg −1 é um
automorfismo.
(b) Prove que a função T : G → Aut(G) dada por T (g) = φg é um homomorfismo.
(c) Prove que o núcleo de T é o centro do grupo G (ver Exercício 7, na secção
anterior).
9. Classifique os grupos com três e quatro elementos.
10. Mostre que An é o núcleo do homomorfismo φ : Sn → Z2 que a uma
permutação π associa o seu sinal sgn(π).
11. Determine todos os subgrupos normais de S3.
12. Seja G um grupo qualquer e φ : S3 → G um homomorfismo. Classifique
o grupo φ(S3) (i.e., diga quais são as possibilidades para φ(S3) a menos de
isomorfismo).
13. Seja G um grupo qualquer, e g ∈ G. Considere a função Tg : G → G dada
por Tg(x) = gx.
(a) Mostre que Tg é uma permutação no conjunto G.
(b) Considere a função φ(g) : G → SG dada por φ(g) = Tg. Prove que φ um
homomorfismo injectivo, e conclua que G é isomorfo a um subgrupo de
um grupo de permutações.
(c) Conclua que, se G é um grupo finito com n elementos, então existe um
subgrupo H ⊆ Sn tal que G H.
1.5 Anéis, Domínios Integrais e Corpos
Os números inteiros, racionais, reais e complexos podem ser somados e multiplicados
por números do mesmo tipo, e o resultado de cada operação é