Álgebra I - Departamento de Matemática

26 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
(ii) Como
concluímos que φ(g −1 ) = (φ(g)) −1 .
Exemplos 1.4.4.
φ(g) · φ(g −1 ) = φ(g ∗ g −1 ) = φ(e) = ˜e,
1. Considerem-se os grupos (R, +) e (C∗ , ·), onde C∗ designa o conjunto dos
complexos não-nulos. Definimos φ : R → C∗ por φ(x) = e2πxi = cos(2πx) +
i sen(2πx). A função φ é um homomorfismo (ez · ew = ez+w , mesmo quando
z e w são complexos 12 ).
É claro que φ não é sobrejectiva (porque φ(x) é um
complexo de módulo 1), e não é injectiva (porque, se x = n é um inteiro, temos
φ(n) = 1. Note que a função φ corresponde a “enrolar” a recta real sobre o
círculo unitário. De acordo com a Proposição, o elemento neutro do grupo de
partida (o real 0), é transformado no elemento neutro do grupo de chegada (o
complexo 1), e a imagem do simétrico do real x é o inverso do complexo φ(x).
2. Considerem-se os grupos (Z, +) e (C ∗ , ·). Definimos φ : Z → C ∗ por φ(n) =
i n . A função φ é mais uma vez um homomorfismo que não é sobrejectivo
nem injectivo. O elemento neutro do grupo de partida, que é o inteiro 0, é
transformado no elemento neutro do grupo de chegada, que é o complexo 1, e
a imagem do simétrico do inteiro n é o inverso do complexo φ(n).
3. O exemplo anterior pode ser generalizado: se (G, ∗) é um grupo arbitrário e
g ∈ G, podemos sempre definir φ : Z → G por φ(n) = g n (notação multiplicativa).
A função φ é um homomorfismo de (Z, +) para (G, ∗).
Dado um homomorfismo de grupos φ : G → H, consideramos agora a
equação φ(x) = y, onde supomos y ∈ H fixo, e x a incógnita a determinar.
Por analogia com a Álgebra Linear, a equação diz-se homogénea quando
y = ˜e é a identidade do grupo de chegada, e não-homogénea quando y = ˜e.
O conjunto das soluções da equação homogénea diz-se núcleo do homomorfismo,
designado por N(φ), e o conjunto dos y ∈ H para os quais a
equação φ(x) = y tem solução x ∈ G, designado por φ(G) (ou ainda por
Im(φ)) diz-se imagem do homomorfismo.
Exemplos 1.4.5.
1. Continuando os Exemplos 1.4.4, o núcleo de φ : R → C ∗ é precisamente o
conjunto dos inteiros, e φ(R) é o conjunto S 1 dos complexos de módulo 1 (o
círculo unitário).
2. De igual modo, o núcleo de φ : Z → C ∗ é precisamente o conjunto dos inteiros
que são múltiplos de 4, e φ(Z) é o conjunto {1, −1, i, −i}.
A figura seguinte ilustra os conceitos de núcleo e imagem de um homomorfismo.
12 Recorde que se z = x + iy é um complexo, com x, y ∈ R, definimos e z = e x (cos(y) +
i sen(y)).