Álgebra I - Departamento de Matemática

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4 CONTE ÚDO
Prefácio A divisão tradicional da Matemática nas três áreas fundamentais, Álgebra, Análise e Geometria/Topologia, subsiste até aos dias de hoje. Embora a Matemática contemporânea cada vez menos possa ser caracterizada desta forma, quer pelas novas áreas que não encaixam nesta divisão tradicional, quer pela importância crescente de áreas multidisciplinares, é nossa opinião que a formação do aluno deve ter por base uma forte preparação em cada uma destas três áreas fundamentais. O programa de estudos de qualquer licenciatura em Matemática bem estruturada, seja ela virada para o ensino, para a investigação ou para a indústria, deve pois incluir, pelo menos, três semestres de preparação em cada uma destas áreas. O presente texto pretende ser um livro de apoio às disciplinas de formação de base em uma delas: a Álgebra. Antes de mais, deve-se observar que, hoje em dia, é aceite por toda a comunidade matemática a formulação conceptual, axiomática, da Álgebra. Mais do que isso, a metodologia algébrica é uma das ferramentas essenciais da Matemática. Por outro lado, depois de na segunda metade do século XX se ter assistido a uma abstracção sem paralelo na Matemática, mais recentemente, verificou-se um retorno a uma tradição nunca perdida: os desafios criados por problemas concretos, por vezes de natureza elementar, mas cuja solução requer métodos de extrema complexidade. O ensino da Álgebra deve, quanto a nós, reflectir este binómio abstracto-concreto. Como perguntava o grande matemático contemporâneo Vladimir Arnol’d, de que serve a um estudante saber o que é um anel local e as suas propriedades, se desconhecer o exemplo do anel das séries de potências? Este texto é, pois, uma iniciação ao estudo sistemático da Álgebra assente nestes princípios. Ao longo do texto, apresentam-se as estruturas algébricas elementares e estudam-se as suas propriedades. A introdução de uma nova estrutura algébrica é sempre precedida de exemplos e/ou problemas que a motivam, partindo-se daí para a sua definição axiomática. O nível de abstracção é progressivo em cada secção, em cada capítulo e em cada novo capítulo. Para além das preocupações pedagógicas, o leitor deve estar consciente de que assim sucede com a formação de qualquer matemático, e foi assim que aconteceu ao longo dos tempos com a própria Matemática: as funções foram introduzidas e estudadas, antes de qualquer definição axiomá- 5
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