Álgebra I - Departamento de Matemática

48 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
1.7 Os Quaterniões
O corpo dos complexos é uma extensão do corpo dos reais. Este último é
uma extensão do corpo dos racionais, que são por sua vez uma extensão do
anel dos inteiros. É curioso investigar se é possível criar uma extensão do
corpo dos complexos, e de procurar determinar até que ponto é que este
processo de extensões sucessivas tem um fim “natural”. No século passado,
W. R. Hamilton 21 colocou a si próprio esta questão.
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Figura 1.7.1: O problema de Hamilton.
Numa primeira tentativa (que durou 20 anos!), Hamilton procurou utilizar
“números” da forma a+ib+cj, onde a, b, c ∈ R e i é a unidade imaginária,
i.e., em linguagem moderna, procurou criar um corpo com suporte em R 3
e contendo um subcorpo isomorfo ao corpo dos complexos. Depois de muitas
tentativas para atribuir um valor “razoável” ao produto ij (na forma
ij = a + bi + cj), viu-se na necessidade de introduzir um “número” adicional
k, de forma a ter ij = k. No seguimento das suas investigações, descobriu a
existência não de um corpo mas de um anel de divisão, com suporte em R 4 ,
e cujos elementos se dizem quaterniões, ou números de Hamilton.
Designamos os elementos da base canónica do espaço vectorial R 4 por
1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0), k = (0, 0, 0, 1).
O quaternião q = (a, b, c, d) escreve-se portanto q = a1 + bi + cj + dk, onde
a, b, c, d são números reais. Desejamos naturalmente que as funções injectivas
φ : R → R 4 e ψ : C → R 4 definidas por φ(x) = x1 e ψ(x+iy) = x1+yi, sejam
homomorfismos, de modo a poder identificar o conjunto R com o conjunto
{(x, 0, 0, 0) : x ∈ R}, e o conjunto C com o conjunto {(x, y, 0, 0) : x, y ∈ R}.
Dado um quaternião q = a1 + bi + cj + dk, a1 diz-se a parte real de q, e
bi+cj +dk a parte vectorial. Tal como no caso dos complexos, escreveremos
21 William Rowan Hamilton (1805-1865), grande astrónomo e matemático irlandês. Hamilton
foi também muito precoce: aos 5 anos sabia ler grego, hebraico e latim, e aos 10
anos estava familiarizado com meia dúzia de línguas orientais!