Álgebra I - Departamento de Matemática

42 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
2. Considere-se a função φ : C → M2(R) definida por
Verificamos que
x −y
y x
ou seja,
e, analogamente,
x −y
y x
ou seja,
φ(x + iy) =
′ ′ x −y
+
y ′ x ′
x −y
y x
.
′ ′
x + x −y − y
=
y + y ′ x + x ′
φ(x + iy) + φ(x ′ + iy ′ ) = φ((x + iy) + (x ′ + iy ′ )),
x ′ −y ′
y ′ x ′
=
,
xx ′ − yy ′ −(xy ′ + x ′ y)
xy ′ + x ′ y xx ′ − yy ′
φ(x + iy)φ(x ′ + iy ′ ) = φ((x + iy)(x ′ + iy ′ )).
Temos portanto que φ é um homomorfismo de anéis. Neste caso, φ é injectivo
( i.e., é um monomorfismo) mas não é sobrejectivo.
3. Seja φ : Z → Z2 dado por φ(n) = 0, se n é par, e φ(n) = 1, se n é ímpar.
É fácil verificar que φ é ainda um homomorfismo de anéis sobrejectivo ( i.e., é
um epimorfismo), mas não é injectivo.
4. Seja φ : R → M2(R) dado por
φ(x) =
x 0
0 0
Deve ser evidente que φ é um monomorfismo (mas não-sobrejectivo) 20 .
5. Sejam S, T : R n → R n duas transformações lineares. Definimos a soma
S + T e composição ST por
.
(S + T )(x) = S(x) + T (x), (ST )(x) = S(T (x)).
Já observámos que com estas operações o conjunto das transformações lineares
de R n em R n é um anel, que designamos aqui por L(R n , R n ). Fixada uma base
para R n , seja M(S) a matriz da transformação linear S relativa a esta base. É
claro que M(S) é uma matriz n × n com entradas reais, e sabemos da Álgebra
Linear que a função M : L(R n , R n ) → Mn(R) verifica as identidades
M(S + T ) = M(S) + M(T ), M(ST ) = M(S)M(T ).
Temos portanto que M é um isomorfismo de anéis.
„
20 x
Note-se que as matrizes da forma
0
0
0
«
constituem um subanel de M2(R) com
identidade distinta da identidade do anel M2(R).
,