Álgebra I - Departamento de Matemática

24 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
Exercícios.
1. Factorize a permutação
π =
num produto de ciclos disjuntos.
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 1 6 7 5
2. Qual é a paridade da permutação π do exercício anterior?
3. Quantas transposições existem em Sn?
4. Quantos ciclos distintos de comprimento k (1 ≤ k ≤ n) existem em Sn?
5. Mostre que, se π, ρ ∈ Sn, então sgn(πρ) = sgn(π) sgn(ρ).
6. Prove que An é um subgrupo de Sn.
7. Indique todos os elementos do grupo A3.
8. Determine todos os subgrupos de S3.
9. Mostre que em Sn o número de permutações pares é igual ao número de
permutações ímpares, se n > 1.
1.4 Homomorfismos e Isomorfismos
A comparação de estruturas algébricas que satisfazem a mesma definição
abstracta faz-se com recurso a uma das noções mais fundamentais da Álgebra,
a de isomorfismo, ela própria um caso particular da noção de homomorfismo.
A respectiva definição formal apresenta-se a seguir para monóides:
Definição 1.4.1. Se (X, ∗) e (Y, ·) são monóides, a função φ : X → Y diz-se
um homomorfismo se e só se
φ(x1 ∗ x2) = φ(x1) · φ(x2), ∀x1, x2 ∈ X.
Se o homomorfismo φ é uma bijecção, então diz-se um isomorfismo, e neste
caso os monóides dizem-se isomorfos 10 .
10 O uso dos seguintes termos também é frequente: um monomorfismo é um homomorfismo
injectivo; e um epimorfismo é um homomorfismo sobrejectivo. Por outro lado, um
endomorfismo é um homomorfismo de uma estrutura algébrica em si própria, enquanto
que um automorfismo é um isomorfismo de uma estrutura algébrica em si própria.