Álgebra I - Departamento de Matemática

16 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
Não é objectivo desta secção discutir a teoria dos grupos em profundidade.
Referimos aqui apenas alguns resultados elementares que nos serão
úteis no estudo de muitas outras estruturas algébricas.
Proposição 1.2.4. Se (G, ∗) é um grupo (com elemento neutro e), temos 4 :
(i) Se g, g ′ , h ∈ G e g ∗ h = g ′ ∗ h ou h ∗ g = h ∗ g ′ , então g = g ′ ( leis do
corte);
(ii) Em particular, se g ∗ g = g então g = e;
(iii) A equação g ∗ x = h (respectivamente, x ∗ g = h) tem como solução
única x = g −1 ∗ h (respectivamente, x = h ∗ g −1 ).
Demonstração. Temos:
g ∗ h = g ′ ∗ h =⇒ (g ∗ h) ∗ h −1 = (g ′ ∗ h) ∗ h −1
(porque h é invertível),
=⇒ g ∗ (h ∗ h −1 ) = g ′ ∗ (h ∗ h −1 ) (por associatividade),
=⇒ g ∗ e = g ′ ∗ e (porque h ∗ h −1 = e),
=⇒ g = g ′
(porque e é identidade).
A demonstração para h ∗ g = h ∗ g ′ é análoga, logo (i) verifica-se. Por
outro lado,
g ∗ g = g =⇒ g ∗ g = g ∗ e (porque g ∗ e = g),
=⇒ g = e (pelo resultado anterior).
e (ii) é verdadeira. A demonstração de (iii) fica como exercício.
Se (G, ∗) é um grupo e H ⊂ G é um conjunto não-vazio, é possível que
H seja fechado em relação à operação ∗, i.e., é possível que h ∗ h ′ ∈ H,
sempre que h, h ′ ∈ H. Neste caso, a operação ∗ é uma operação binária em
H, e podemos investigar em que condições é que (H, ∗) é um grupo, caso
em que (H, ∗) se diz subgrupo de (G, ∗).
O resultado seguinte fornece um critério simples para decidir se um dado
subconjunto H de um grupo G é um subgrupo.
Proposição 1.2.5. Se (G, ∗) é um grupo (com elemento neutro e), e H ⊂ G
é não-vazio, então (H, ∗) é um subgrupo de (G, ∗) se e só se h ∗ h ′−1 ∈ H,
para quaisquer h, h ′ ∈ H.
Demonstração. Supomos primeiro que (H, ∗) é um grupo. Temos a provar
que h ∗ h ′−1 ∈ H, para quaisquer h, h ′ ∈ H. Neste caso, H tem um elemento
neutro ˜e, que naturalmente satisfaz ˜e ∗ ˜e = ˜e. Concluímos da Proposição
4 Note que os resultados neste teorema são em última análise variantes “sofisticadas”
da operação de al-jabr mencionada na introdução.