Álgebra I - Departamento de Matemática

20 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
(a) Determine todos os seus subgrupos.
(b) Considere o grupo com suporte H = {1, −1, i, −i} ⊂ C e o produto
complexo. Existe alguma bijecção f : G → H tal que f(x+y) = f(x)f(y),
para quaisquer x, y ∈ G? Se tal acontecer, quantas existem?
1.3 Permutações
As funções bijectivas f : X → X com a operação de composição formam um
grupo SX, dito o grupo simétrico em X. As bijecções de X em X dizem-se
permutações de X, especialmente quando X é um conjunto finito. Estudaremos
aqui os grupos de permutações nos conjuntos {1, 2, 3, . . . , n}, usualmente
designados por Sn. Um argumento simples de contagem mostra que
Sn é um grupo finito com n! elementos (n! designa o factorial de n, i.e., o
produto dos primeiros n inteiros).
Exemplos 1.3.1.
1. O grupo S2 tem apenas dois elementos, I e φ, onde I é a identidade no
conjunto {1, 2}, e φ “troca” 1 com 2, ( i.e., φ(1) = 2 e φ(2) = 1).
2. A função δ : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} definida por δ(1) = 2, δ(2) = 3, e δ(3) = 1
é uma das seis permutações em S3.
3. Mais geralmente, em Sn temos a permutação π : Sn → Sn que permuta
ciclicamente todos os elementos: π(i) = i + 1 (i = 1, . . . , n − 1) e π(n) = 1.
É comum representar uma permutação π de Sn por uma matriz de duas
linhas, indicando na primeira linha a variável x e na segunda linha os valores
π(x). No caso de S3, os seus elementos podem ser representados por
1 2 3
1 2 3
1 2 3
I =
, α =
, β =
,
1 2 3
1 3 2
3 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
γ =
, δ =
, ε =
.
2 1 3
2 3 1
3 1 2
Não é difícil calcular todos os possíveis produtos destas permutações indicados
na tabuada seguinte:
I α β γ δ ε
I I α β γ δ ε
α α I δ ε β γ
β β ε I δ γ α
γ γ δ ε I α β
δ δ γ α β ε I
ε ε β γ α I δ