Álgebra I - Departamento de Matemática

46 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
Num anel não-abeliano A podemos considerar subanéis para as quais
a condição de ideal se verifica apenas num dos lados. Assim, um ideal
esquerdo de A é um subanel B ⊂ A tal que para qualquer a ∈ A e b ∈ B se
tem ab ∈ B. Da mesma forma, um ideal direito de A é um subanel B ⊂ A
tal que para qualquer a ∈ A e b ∈ B se tem ba ∈ B.
É claro que I ⊂ A
é um ideal num sentido da Definição 1.6.9 se e só se é, simultaneamente,
um ideal esquerdo e um ideal direito. Para um anel abeliano, todas estas
noções coincidem. Os ideais laterais desempenham um papel bem menos
importante que os ideais bilaterais, por causa da Proposição 1.6.8.
Exercícios.
1. Seja A um anel e φ, ψ : A → A endomorfismos. Mostre que a composição
φ ◦ ψ é um endomorfismo, mas que φ + ψ pode não o ser. Em particular,
mostre que o conjunto dos endomorfismos de A, designado por End(A), com a
operação de composição, forma um monóide.
2. Seja A um anel e φ, ψ : A → A automorfismos. Mostre que a composição
φ◦ψ e a inversa φ −1 são automorfismos. Em particular, mostre que o conjunto
de todos os automorfismos de A, designado por Aut(A), com a operação de
composição, forma um grupo.
3. Qualquer inteiro m é da forma m = 3n+r, onde n é o quociente da divisão de
m por 3 e r o respectivo resto. Note que n e r são únicos desde que 0 ≤ r < 3.
Prove que a função φ : Z → Z3 dada por φ(m) = r é um homomorfismo de
anéis. Qual é o núcleo deste homomorfismo?
4. Prove que, se A e B são anéis, A tem identidade 1, e φ : A → B é um homomorfismo
então φ(1) é a identidade de φ(A), não necessariamente a identidade
de B. Mostre também que, se a ∈ A ∗ , então φ(a) −1 é o inverso de φ(a) em
φ(A), não necessariamente o inverso de φ(a) em B. Em particular, φ(a) pode
não ser invertível em B.
5. Prove que, se A e B são anéis, A tem identidade 1, e φ : A → B é um
isomorfismo então φ(1) é a identidade de B. Mostre também que, se a ∈ A ∗ ,
então φ(a) −1 é o inverso de φ(a) em B e φ(A ∗ ) = B ∗ .
6. Prove que, se A e B são anéis, A tem identidade 1, e φ : A → B é um
isomorfismo, então B é um corpo (respectivamente, anel de divisão, domínio
integral) se e só se A é um corpo (respectivamente, anel de divisão, domínio
integral).
7. Mostre que, se K é um corpo, A é um anel, e φ : K → A é um homomorfismo,
então A contém um subanel isomorfo a K, ou φ é identicamente 0.
8. Existem subanéis de Z ⊕ Z que não são ideais de Z ⊕ Z?
9. Determine End(A) quando A = Z e A = Q.
(Sugestão: Calcule φ(1) e proceda por indução.)