Álgebra I - Departamento de Matemática

34 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
anel A com o anel dos inteiros deve ser sempre feita com prudência. Note-se
que em geral o “produto” não é comutativo, nem se faz na Definição 1.5.1
qualquer referência à existência duma identidade para esta operação (semelhante
ao inteiro 1). Os exemplos que estudaremos mais à frente mostrarão
que, por vezes, um anel goza de propriedades radicalmente diferentes das do
anel dos inteiros.
Se o anel A tem identidade (para o produto) então (A, ·) é um monóide.
Nesse caso dizemos que A é um anel unitário. Referimo-nos sempre à
(única) identidade para a soma como o zero do anel, reservando o termo
identidade sem mais qualificativos para a (única) identidade para o produto,
quando esta existir no anel em causa (i.e., quando o anel for unitário).
Mais uma vez, um anel comutativo, ou abeliano, é um anel em que
a · b = b · a, para quaisquer a, b ∈ A.
Exemplos 1.5.2.
1. O conjunto dos inteiros com as operações habituais de soma e produto é um
anel abeliano unitário. Por outro lado, o conjunto dos inteiros pares com as
operações habituais de soma e produto é um anel abeliano sem identidade.
2. Os conjuntos de números racionais, reais e complexos (designados respectivamente
por Q, R e C) também com a soma e o produto habituais são anéis
abelianos unitários.
3. O conjunto das matrizes quadradas (n × n) com entradas em Z, Q, R ou C,
que designaremos respectivamente por Mn(A), onde A = Z, Q, R ou C, ainda
com as operações de soma e produto usuais para matrizes, são anéis (não-
-abelianos se n > 1) unitários (a identidade é a matriz identidade I). Mais
geralmente, podemos considerar o anel das matrizes Mn(A) com entradas num
anel arbitrário A.
4. O conjunto de todas as funções f : R → R, com a soma e o produto definidos
por
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(fg)(x) = f(x)g(x),
é um anel abeliano unitário (a identidade é a função constante igual a 1). De
forma semelhante, podemos considerar o anel das funções contínuas, o anel
das funções diferenciáveis, etc.
5. O conjunto Z2 = {0, 1}, com a soma e produto definidos por
0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1,
0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1,
é um anel abeliano unitário. Note-se que as operações deste anel correspondem
às operações lógicas de “disjunção (ou exclusivo)” e “conjunção (e)”, se
associarmos
0 → Falso, 1 → Verdadeiro.